Задача Предложить метод разделения всего - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Задача Предложить метод разделения всего - страница №1/1

Автор: Фильчев Э.Г.

Адрес:Россия.188760.Ленинградская область

г.Приозерск .ул.Привокзальная 5. кв.60.

Упорядоченные множества точек в системе

координат

Задача “Предложить метод разделения ВСЕГО

множества точек декартовой системы координат на КОНЕЧНОЕ число упорядоченных непересекающихся

подмножеств с помощью однообразных итерационных

преобразований “ .

Предлагаемое решение поставленной задачи основывается на двух базовых условиях:

Условие 1.



ТЕОРЕМА “Для любого треугольника имеет место

замкнутость процедуры взаимного вычитания (сложения) сторон и их разностей “ .

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник (Рис.1.)

Шаг 1: Вычитая из отрезка АС отрезок АВ получим отрезок а.

Шаг 2: Вычитая из отрезка ВС отрезок а получим отрезок с.

Шаг 3: Вычитая из отрезка АВ отрезок с получим отрезок b.

Шаг 4: Вычитая из отрезка АC отрезок b получим отрезок (a+c)

Шаг 5: Вычитая из отрезка BC отрезок (a+c) получим нулевой отрезок,

т.е. процесс замкнулся.

Обозначим: АВ=x , ВС= y, АС=z



ВВ3=ВВ2=B1B4=(x+y)-z=2mn

СВ1=СВ2=2m2

АВ3=АВ4=n2

и тогда из Рис1. следует, что



из этих формул ?




В общем случаи возможны восемь вариантов представления параметров m n .

Эти варианты даны в таблице 1.




Местоположение любой точки Mi декартовой системы координат задается ее координатами Xi,Yi , т.е. точка Мi является вершиной координатного треугольника

(Xi, Yi , Zi ), где Zi =.

Элементы любого координатного треугольника можно записать в виде формул (1).

Из этих формул путем простых преобразований можно получить итерационные формулы Условия 2.
Условие 2.

“Для любого координатного треугольника имеют место

итерационные формулы:

x11=2zo+2xo+yo

E1=: y11=2zo+xo+2yo (2)

z11=3z0+2xo+2yo

x12=2zo-2xo+yo

E2=: y12=2zo-xo+2yo (3)

z12=3z0-2xo+2yo
x13=2zo+2xo-yo

E3=: y13=2zo+xo-2yo (4)

z13=3z0+2xo-2yo

x14=2zo-2xo-yo

E4=:y14=2zo-xo-2yo (5)

z14=3z0-2xo-2yo ,

Прямоугольный (координатный) треугольник с взаимно-простыми целочисленными сторонами принято называть ОСНОВНЫМ ПИФАГОРОВЫМ ТРЕУГОЛЬНИКОМ.

Пифагоровы треугольники будем обозначать как ПТ(X,Y,Z).

Так ПТ(4,3,5)-основной пифагоров треугольник с элементами X=4,Y=3,Z=5.

Решение задачи начнем с определения подмножества точек координат

лежащих на лучах образованных продолжением гипотенуз основных пифагоровых

треугольников.

Сформулируем вспомогательную задачу:

"Предложить метод определения всех основных пифагоровых треугольников как упорядоченного множества "

Для решения поставленной задачи используем формулы (2) - (5). Обозначим множество всех ПТ через Р. Очевидно, что если



Поэтому, для решения поставленной задачи достаточно ограничиться тройками, для которых считать x>y. Кроме того


где k- любое число натурального ряда. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением таких ПТ, для которых Н.О.Д. (x,y)=1, т.е. x и y взаимно простые числа. Обозначим их множество через РР. Будем считать, что ПТ(1,0,1) РР.

Для построения множества РР используем формулы (2) - (4). Из линейности этих формул следует, что



Вывод: Применение формул (2), (3), (4) т.е. E1, E2, E3 к ПТ(1,0,1) и далее вновь ко всем

полученным значениям xi,yi,zi дают возможность вычислять последовательно множество основных пифагоровых треугольников. Графически этот процесс вычислений может быть представлен в виде дерева (Рис.2)

В заключении данного раздела дадим упрощенное доказательство следующего утверждения:



Утверждение 1 таких, что

т.е. дерево пифагоровых треугольников (Рис.2) представляет упорядоченное множество РР.



-1.

что очевидно ввиду линейности преобразований.



-2. по условию.

-3. Формулы (1) - (4) справедливы для элементов любого прямоугольного треугольника.

-4.

Отсюда следующие выводы:

1.При использовании E1,E2,E3 имеет место увеличение значений xi, yi, zi

относительно исходных значений xo, yo, zo

2.При использовании E4 имеет место уменьшение значений xi, yi, zi

3.Любой основной ПТ(x,y,z) с помощью последовательного использования

формул Е4 преобразуется в исходный ПТ(1,0,1), а любой не основной ПТ

вида ПТ(kx, ky, kz) преобразуется соответственно в ПТ(k,o,k),

где k -любое действительное число.

Данные массива М вывести на принтер (монитор) в виде дерева, или в виде таблицы.



Пример1. Пусть имеем ПТ(1,0,1)

 xo=1, yo=0, zo=1 2zo=2

2zo=2, 3zo=3, 2xo=2, 2y=0

Первая итерация:

x1=2zo- xo+2yo=2-1+0=1

y1=2zo-2xo+ yo=2-2+0=0

z1=3zo-2xo+2yo=3-2+0=1


x2=2zo+ xo-2yo=2+1-0=3

y2=2zo+2xo- yo=2+2-0=4

z2=3zo+2xo-2yo=3+2-0=5
x3=2zo+ xo+2yo=2+1+0=3

y3=2zo+2xo+ yo=2+2+0=4

z3=3zo+ 2xo+2yo=3+2+0=5

В результате мы получили исходный ПТ(1,0,1) и два одинаковых ПТ. т.к. x22 то примем x=4, а y=3.



Вторая итерация: Теперь имеем ПТ(4,3,5) xo=4, yo=3, zo=5

x1=2zo- xo+2yo=10-4+6=12

y1=2zo-2xo+ yo=10-8+3=5

z1=3zo-2xo+2yo=15-8+6=13


x2=2zo+ xo-2yo=10+4-6=8

y2=2zo+2xo- yo=10+8-3=15

z2=3zo+2xo-2yo=15+8-6=17

x3=2zo+ xo+2yo=10+4+6=20

y3=2zo+2xo+ yo=10+8+3=21

z3=3zo+ 2xo+2yo=15+8+6=29



Третья итерация: После второй итерации мы получим три основных ПТ, а именно

ПТ(12,5,13), ПТ(8,15,17), ПТ(20,21,29).

Ранее мы принимали условия, что x>y. Для ПТ принципиального значения не имеет какой из катетов больше, поэтому будем считать что мы имеем в качестве исходных три ПТ: ПТ1(12,5,13), ПТ2(15,8,17), ПТ3(21,20,29).

Применяя к каждому из ПТ формулы (1),(2),(3) получим:

xo=12, xo=15, xo=21,

yo= 5, yo= 8, yo=20,

zo=13, zo=17, zo=29,

x1=24, x1=35, x1=39,

y1= 7, y1=12, y1=80,

z1=25 ПТ(24,7,25) z1=37 ПТ(35,12,37) z1=89 ПТ(80,39,89)

x2=28, x2=33, x2=77,

y2=45, y2=56, y2=36,

z2=53 ПТ(45,28,53) z2=65 ПТ(56,33,65) z2=85ПТ(77,36,85)

x3=48, x3=65, x3=119

y3=55, y3=72, y3=120

z3=73 ПТ(55,48,73) z3=97ПТ(72,65,97) z3=169 ПТ(120,119,169)

В результате мы получили 9 новых ПТ к каждому из которых применив формулы (2),(3),(4)

получим новую тройку ПТ и т. д. Результаты проведенного расчета представлены в виде дерева (Рис.2)

Задача спуска по дереву ПТ от исходного к ПТ (1,0,1) реализуется с использованием формул (5), где

x1= |2zo- xo-2yo |

y1= |2zo-2xo- yo |

z1= 3zo-2xo-2yo



Внимание! При реализации данного алгоритма могут иметь место следующие ситуации:

  • 1.Выход на ПТ(1,0,1) реализован, следовательно исходный ПТ, т.е. ПТ с которого был начат спуск, является основным ПТ.

  • 2.В результате конечного числа итераций (циклов) удалось выйти на ПТ(k,o,k),

где k1. Это означает, что исходный ПТ не является основным, а имеет вид

ПТ(kx, ky, kz).



  • 3.В результате расчета программа зацикливается. Это означает, что через

определенное число итераций результаты расчета совпадают по своим

значениям с результатом какой-либо предыдущей итерации.

Следовательно, для исходной тройки значений xo.yo,zo спуск по формулам (5 )

не может быть реализован. Контроль за этими тремя возможными ситуациями

необходимо предусмотреть в реальной программе.

Пример 2 Пусть имеем в качестве исходных данных





Первая итерация. Вторая итерация.






Третья итерация.



Четвертая итерация.

Т.о. после пятой итерации вышли на ПТ(1,0,1), следовательно исходный ПТ(532,165,557) – это основной ПТ.



Пример 3 Пусть имеем в качестве исходных данных



Первая итерация.



Вторая итерация.



Третья итерация.


т.о. после третьей итерации мы получим ПТ(17,0,17), следовательно исходный ПТ(765,476,901) не является основным, а имеет вид ПТ(kx, ky, kz), где k=17. Действительно, разделив значения x,y,z на k=17 получим -это основной ПТ.

Пример 4. Пусть имеем в качестве исходных данных



Первая итерация. Вторая итерация.

x1= |10.471-4.9525-3.396| = 2.1225 xo=2.1225, yo=1.132 , zo=2.4055

y1= |10.471-9.905 - 1.698 |= 1.132 x1= |4.811- 2.1225- 2.264 |= 0.4245

z1= 15.7065-9.905-3.396 =2.4055 y1= |4.811- 4.245-1.132 | = 0.566

z1= 7.2165-4.245-2.264 = 0.7075

Третья итерация.

xo=0.4245, yo=0.566 , zo=0.7075

x1= |1.415- 0.4245- 1.132 |= 0.1415

y1= |1.415- 0.849 - 0.566 |= 0

z1= 2.1225-0.849-1.132 = 0.1415

В данном примере в качестве исходных данных мы взяли xo,yo с нецелыми значениями и после третьей итерации получили тройку (0.1415 , 0 , 0.1415). Это означает, что исходные



данные имеют общий множитель k=0.1415. Действительно если разделить исходные значения xo,yo,zo на 0.1415, то получим ПТ(35,12,37). Этот пример показывает, что наличие в исходных данных общего множителя не всегда является очевидным. В то же время наличие общего множителя указывает на то, что исходный треугольник является подобным треугольнику





Пример 5 Пусть xo=1, yo=0.4776 zo=1.1082

Первая итерация.

X1=|2z0 -xo-2yo= 2.2164-1-0.9552|=0.2612

y1=|2z0-2xo- yo= 2.2164-2-0.4776 |=0.2612

z1= 3zo-2xo-2yo = 0.3694

В данном примере после первой итерации получен результат x1=y1 поэтому дальнейшие итерации не имеют смысла, т.к. в результатах всегда будет иметь место равенство xi=yi

В расчетах на ЭВМ это приведет к зацикливанию. Данный пример показывает, что принципиально возможны повторы результатов через несколько итераций, т.е. xi=xj, yi=yj, zi=zj

где j = i + n и n>1. Следует сказать, что повторы невозможны в случаях, когда в качестве начальных данных xo,yo,zo взяты элементы основного ПТ или ему подобного, т.е. имеющего вид kxo, kyo, kzo kz). Повторы результатов при итерациях для исходной пары значений xo,yo могут быть обусловленны двумя основными причинами:

- ограничениями в разрядности вычислений

т.е. ограничение числа знаков после запятой. Например, если

xo=1, yo=2, zo=,zo=2.2360679..

-функциональной зависимостью значения x от y, т.е. xo= (yo) такой, что

xi=xj, yi=yj, zi=zj где j - число итераций и j >1.

Случай xo=yo является тривиальным, так если xo=yo zo=xoи после первой и последующей итерации будем иметь

x1=|2x0 -xo-2xo|= xo|2 -3|=0.171573xo



y1=xo  0.171573...

z1=xo  0.2426405...  x1=y1

и при всех последующих итерациях будет xj=yj т.е. процесс спуска не имеет смысла. Для определения функциональной зависимости xo= (yo) необходимо задать значение j. Однако следует сказать, что такие расчеты даже при j=2 являются громоздкими ввиду наличия в промежуточных результатах знаков модулей.
Для оценки предельных значений x и y как элементов произвольной пары, обратимся к формулам (1), тогда x=n2+2mn , y=2m2+2mn где n и m - любые действительные числа.

Для определения предельных значений x и y необходимо рассмотреть следующие варианты:



При этом порядок бесконечно малых должен быть одним, т.е. если



1.Пусть




  1. Пусть

т.е. при x? имеем y=2??

Это означает, что сколько бы мы не увеличивали значение x, значение для y не может быть меньше 2.

3.Пусть n?,m0 тогда аналогично получим, учитывая, что



Это означает, что сколько бы мы не увеличивали значение для y, значение для x не может быть меньше 2.

4. Пусть




Утверждение 2

“ В прямоугольной системе координат имеются сектора, попасть в которые, используя любые пары действительных чисел, НЕВОЗМОЖНО”.

Гипотетически можно считать , что “Утверждение 2 “- это математическое

подтверждение существования ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ МИРОВ.

Читателям предоставляется возможность строго доказать или опровергнуть это утверждение.

Основные свойства дерева упорядоченного множества.
Формулы (2-5) ввиду их линейности могут быть использованы для любых значений взаимно связанных троек чисел вида xo,yo, Z0 =. . Так если xo,yo,zo –целые вза­имно простые числа, то многократное использование формул (1.2-1.4) позволит создать упо­рядоченное множество (дерево) основных пифагоровых треугольников. Если xo,yо –целые числа, а zo =-иррациональное число, то с помощью указанных итераций можно создать упорядоченное множество троек чисел сохраняющих в себе все характерные особен­ности исходной тройки чисел. Так как любое дерево такого типа формируется с помощью формул (2-4), то и такие множества будут обладать рядом общих свойств. Представим часть из этих свойств.

1.      Дерево сформировано путем последовательного применения (итераций) формул подъема к исходным и затем к вновь получаемым тройкам значений xi,yi,zi формул (1.2-1.4).

2.      Формулы (1.2-1.4) реализуют тройное ветвления значений элементов (см.Рис.1.2).

3.      Упорядоченное множество имеет уровни (ярусы), при этом общее число троек (xi,yi,zi) на каждом уровне однозначно отражает его «удаленность» от нулевого уровня.

4.      Если исходная тройка xо,yо,zо имела взаимно простые значения для xo,yo, то ввиду линейности преобразований последующие значения xi,yi,zi будут элементами основных пифагоровых треугольников. Это свойство позволяет с помощью формул (1.2-1.4) реализовать упорядоченные множества элементов с одинаковыми признаками.

5.      Дерево основных ПТ имеет крайние ветви (см.Рис.1.2) вида

ПТ1(x,y,x+1) и ПТ2(x,x+1,z)

Здесь для ПТ1 значение z больше на единицу, чем значение одного из катетов. Для ПТ2 разность между значениями катетов равна единице. Для ПТ1 с увеличением значения xi(yi) происходит приближение к оси x(y). Для ПТ2 с увеличением xi происходит приближение к лучу с  =45о.

6.      Дерево ПТ при xo>yo располагается в секторе 0<  <45o, а для случая yo>xo соответственно в секторе 45о<<90o. В секторе 0о<<45o имеем в качестве минимального треугольника ПТ (4,3,5), а в секторе 45о<<90o соответственно ПТ(3,4,5).

7.      Для реализации спуска по дереву необходимо использование формул (1.5).

8.      Если исходная тройка zo,yo,zo взаимно простые, то после конечного числа итераций будет реализован выход на «нулевой» уровень дерева, т.е. будет получена одна из троек ПТ1(0,1,1) или ПТ2(1,0,1). Если в исходных значениях элементов имел место общий множитель «k», то соответственно будем иметь ПТ1(0,k,k) или ПТ2(k,0,k).

9.      При спуске по дереву может иметь место ЗАЦИКЛИВАНИЕ, т.е. выход после ряда итераций снова на тройку исходных значений xo,yo,zo.


В Ы В О Д Ы

На основании изложенного можно сделать следующие основные выводы:



1.      Замкнутость операций сложения (вычитания) значений элементов треугольника между собой (см.Рис.1.1) позволяет в аналитической форме записать значения этих элементов в виде взаимосвязанных функций двух переменных m и n, т.е.

x=1(m,n), y=2(m,n), z=3(m,n), где x,y,z – значения сторон произвольного треугольника. Имеется восемь вариантов троек таких представлений.



2.      Каждая точка функции y=f(x), в связи с объективной закономерностью замкнутости, указанной в п.1., имеет элементы координатного треугольника не только в виде: y-функция, x-аргумент, но и в виде трех взаимно связанных функций двух аргументов m,n например,

xi=n2+2mn, yi=2m2+2mn, zi=n2+2mn+2m2



3.      Для xi,yi-координат точки Mi(xi,yi) в системе координат x,y точка будет РАЦИОНАЛЬНОЙ если значения mi,ni будут рациональными.

4.      С помощью предложенных автором, трех систем уравнений, из исходной тройки значений xo,yo, Z0 =., реализуется (подъем) формирование УПОРЯДОЧЕННОГО множества новых троек значений xi,yi,zi с сохранением основных числовых характеристик исходных чисел xo,yo,zo.

5.      С помощью системы уравнений (1.5) реализуется «спуск» на начальный уровень множества созданного в соответствии с п.4.

6.      Структура функции вида y=f(x) имеет более детальное отображение своих характеристик в виде y=f(x)=1(m,n).
7. Множество точек декартовой системы координат с помощью формул ( 1 –3) можно разделить на четыре основных подмножества:

-Точки,лежащие на лучах основных пифагоровых треугольников-подмножество(R) рациональных точек.

-Точки,не лежащие на лучах основных ПТ,но имеющие действительные значения координат-подмножество(N) не рациональных точек.

-Точки, имеющие действительные значения координат при которых,через определенное число итераций спуска(подъема) реализуется режим зацикливания,т.е. выход на исходное значение координат-подмножество(C) закольцованных точек.

4.Точки,лежащие в секторах недоступности-подмножество(J).


З а д а ч и
Задачи подмножества R

Задача 1 “Предложить метод определения множества основных пифагоровых треугольников (ПТ),как УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА.”

Эта задача решается с помощью предложенной автором системы m n параметров по формулам (2-4).В графическом виде это множество представлено в виде дерева(Рис.2).



Задача 2 “Определить к какому из четырех подмножеств относится исходная точка Mi (Xi ,Yi )”.

Эта задача решается с помощью формул спуска (см.формулы 5).



Задача 3 ”Для координат заданной точки M i (Xi ,Yi ) определить значение общего множителя имеющего место в значениях Xi ,Yi ”. (см. задача 2).

Это решение можно сравнить с алгоритмом Евклида.



Задача 4” Задана точка ,находящаяся на оси X(Y).Предложить метод АНОБОЛИЗМА(подъема вверх) этой точки с ее выходом на график функции y=f(x) c помощью однообразных операций ( итераций)”.

Задача 5 “Определить число и координаты рациональных точек на окружности заданного радиуса с центром в начале координат “.

Задача 6 “Определить число и координаты рациональных точек на окружностях радиусами ri =zi для заданного уровня дерева основных ПТ ”.

Задача 7”Задана точка Mi (Xi ,Yi ).Определить с помощью системы m n параметров возможные бесконечно малые приращения элементов координатного треугольника.

Задача 8 “Задана точка Mi (Xi ,Yi ).Определить число и возможные направления касательных к этой точке.”

Задача 9 ”Задана функция y=f(x).Предложить метод КАТАБОЛИЗМА (сбрасывания вниз на ось X(Y)) группы точек исходной функции с сохранением основных параметров путем использования однообразных операции-ИТЕРАЦИЙ.”

Задача 10 “Предложить метод определения закономерности местоположения рациональных точек,находящихся на луче основного ПТ.”.

Задачи подмножества N

Задача 11 “Задана точка Мi (Xi,Yi)-не рациональная точка. Предложить метод перевода от не рациональной к рациональной точке с заданной степенью точности приближения к исходной точке.”..

Задача 12 ”В результате единичного эксперимента получена Мi (Xi , Yi )-не рациональная точка.Предложить метод определения дисперсии значений координат Xi ,Yi”‘ .

Задача 13 “Предложить метод определения плотности рациональных и не рациональных точек в заданной замкнутой области координат.”.

Задачи подмножества C

Задача 14”Определить критерии принадлежности точки Mi (Xi ,Yi ) к подмножеству закольцованных значений координат при заданном числе итераций спуска (подъема) по дереву ПТ.”.

Задача подмножества J

Задача 15”Определить критерии принадлежности точки Mi (Xi ,Yi ) к сектору недоступности .”.

Задачи системы m n параметров

Задача 16” Определить mn параметры для косоугольного треугольника .”.

Задача 17 “Определить связь mn параметров с тригонометрическими функциями.”.

Задача 18”Определить mn параметры для трехмерной системы координат.”.

Задача 19”Предложить метод анализа исходной функции Y=f(x) с помощью системы mn параметров.”.

Задача 20”Предложить метод снижения на единицу показателя степени степенного многочлена с помощью системы mn параметров.”.

Задача 21”Предложить метод определения действительных корней кубического многочлена при вариациях свободного члена.”

Задача 22”Определить связь mn параметров с параметрами потенциального поля.”.

Задача 23”Определить связь mn параметров с параметрами кристаллических решеток.”.

Задача 24”Определить связь mn параметров с диаметром высокооборотного ротора,например,с диаметром осевого компрессора реактивного двигателя.”.

Задача 25”Определить связь mn параметров с размерами древних пирамид.”.

Задачи 10,13,14,15,22,23,,24,25 пока не решены и их решение представляет определенный интерес как для математики ,так и для соответствующих специалистов.


В заключении следует ,что в процессе дальнейшей работы с системой mn параметров могут иметь место дополнительные задачи ,т.е. данная работа не исчерпывает всех возможностей дискретности системы координат.
Приоритет автора на метод создания упорядоченных множеств подтверждается статьей: Фильчев Э.Г.“Метод числового анализа значений координат”,Указатель поступлений информационных материалов ЦИВТИ МО, Серия Б , вып.11, М.,1981 г. ,Д 5150.
Автор с благодарностью примет все предложения, замечания и пожелания по данной работе. Тел. 8-81379-33991 (для С-Пб 8-379-33991)

E-mail:fgg-fil1@narod.ru

E – mail: fgg-fil1@ya.ru


Рисунки