Учебное пособие по курсу «основы теории цепей» - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
А. Г. Воржецов основы социального прогнозирования учебное пособие 6 1451.15kb.
Учебное пособие для преподавателей-организаторов Начальной военной... 5 1595.54kb.
М. В. Ломоносова Кафедра стандартизации и сертификации Федорина Л. 4 496.71kb.
A. M. Лелюхнна Учебное пособие Технология оценки городских земель... 3 827.32kb.
Введение в теории организаций 10 3476.6kb.
Управление качеством продукции: Учебное пособие. М: Изд-во мгап "Мир... 3 850.37kb.
Учебное пособие Челябинск 2015 11 923.8kb.
Учебное пособие Москва 2004 г. Составители: д т. н., проф. Е. 1 184.36kb.
Учебное пособие Москва 2005 г. Ббк 65. 9(2)-80 (075. 8) Хомутова Е. 3 492.36kb.
Задания для выполнения контрольной работы по курсу «Экономическая... 1 74.54kb.
Учебное пособие под редакцией Е. Б. Моргунова 86 7412.31kb.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Теория Автоматического Управления» 1 28.84kb.
Урок литературы «Война глазами детей» 1 78.68kb.
Учебное пособие по курсу «основы теории цепей» - страница №1/1



Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

филиал «Взлет»

кафедра РЭВС ЛА

Нестеров С. В.
«СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу

«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ»

Рекомендовано к использованию

на заседании кафедры А-21

( протокол № 112 от 16 сентября 2010 г.)



        1. Ахтубинск – 2010


ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей при изучении ими курса «Основы теории цепей».

Пособие состоит из двух частей. В теоретической части излагаются основные принципы синтеза и анализа линейных электрических цепей, как двухполюсников, так и четырёхполюсников, даются основные понятия и определения по данному разделу курса, даны примеры по использованию расчётных выражений.

Во второй части даны руководства по проведению лабораторных работ по синтезу и анализу линейных электрических цепей (фильтров). Первая лабораторная работа направлена на отработку у студентов навыков синтеза низкочастотных фильтров Баттерворта и Чебышёва 1 рода, вторая лабораторная работа – на выработку умения выполнять синтез и анализ электрических частотных фильтров различного назначения.



ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1 Характеристики электрических цепей



1.1 Характеристики двухполюсников
Характеристиками двухполюсника являются комплексные сопротивление и проводимость, полные сопротивление и проводимость, операторные сопротивление и проводимость.

Комплексным сопротивлением двухполюсника называется отношение комплексных амплитуд напряжения на двухполюснике и тока через него:

, (1.1)

где Um и Im – амплитуды синусоидально-изменяющих напряжения и тока соответственно; φU и φI – начальные фазы напряжения и тока, Z(w) и φz(ω) – модуль и аргумент комплексного сопротивления соответственно, являющие-ся функциями частоты напряжения (тока).

Модуль комплексного сопротивления называется полным сопротивле--нием двухполюсника, показывающим отношение амплитуд напряжения и тока

.

Выражение (1.1) можно представить в алгебраической форме:



, (1.2)

где r и x – активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления соответственно.

Из (1.1) и (1.2) следует:

,

,

.

Комплексной проводимостью двухполюсника называется отноше-ние комплексных амплитуд тока через двухполюсник и напряжения на нем:

, (1.3)

где Y(ω) и φY(ω) – модуль и аргумент комплексной проводимости соответст-венно.

Модуль комплексной проводимости называется полной проводимостью двухполюсника, показывающей отношение амплитуд тока и напряжения:

.

Выражение (1.3) можно представить в алгебраической форме:



(1.4)

где g и b – активная и реактивная составляющие комплексной проводимости соответственно.

Из (1.3) и (1.4) следует:

В соответствии с (1.1) и (1.3) комплексные и полные сопротивления и проводимости двухполюсника являются взаимно-обратными величинами:



Причем


Комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника являются аналитическими функциями частоты. Их можно только рассчитать. Полные сопротивления и проводимость являются действительными функциями, их можно не только рассчитать, но и измерить, измеряя амплитуды напряжения и тока. Путем замены аргумента jω, где j= - мнимая единица, на опера-тор p, можно получить операторные сопротивление Z(p) и проводимость Y(p), тоже являющиеся аналитическими функциями, в данном случае опера-тора p.





    1. Характеристики четырехполюсников

Наиболее важными характеристиками четырехполюсника являются



комплексные частотные характеристики (КЧХ), амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), фазочастотные характеристики (ФЧХ), комп-лексные входные сопротивление и проводимость, импульсная характе-ристика, переходная характеристика, операторная передаточная функ-ция.

КЧХ называется отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия в установившемся режиме:

.

Так как в качестве воздействия четырехполюсника могут выступать вход-ные ток I1 или напряжение U1 , а в качестве реакции – выходные ток I2 и на-пряжение U2 , то существует четыре вида КЧХ четырехполюсника (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Виды комплексных частотных характеристик



Вид

воздействия



Вид реакции

Напряжение U2

Ток I2

Выражение КЧХ

Размерность КЧХ

Выражение КЧХ

Размерность КЧХ

Напряжение U1




Безразмерная




Симменс

(размерность проводимости)



Ток I1




Ом

(размерность сопротивления)






Безразмерная

КЧХ может быть представлена как в показательной, так и в алгебраичес-кой форме:



(1.5)

АЧХ A(ω) называется частотная зависимость отношения амплитуды гар-монической (синусоидально изменяющейся) реакции Ym к амплитуде гармо-нического воздействия Хm в установившемся режиме:

АЧХ находится как модуль КЧХ, но ее можно также измерить, т.е. она является действительной функцией.



ФЧХ φ(ω) называется частотная зависимость разности начальных фаз гармонических реакций и воздействия:

,

где φy(ω) и φх – соответственно начальные фазы реакции и воздействия.

ФЧХ находится как аргумент КЧХ, но ее также, как и АЧХ, можно изме-рить, т.е. она является действительной функцией.

Комплексные входные сопротивление и проводимость определяются как отношение комплексных амплитуд входных напря-жения и тока :

, .

Если выходные контакты четырехполюсника разомкнуты (выходной ток равен нулю), то в этом случае входное сопротивление называется сопро-тивлением холостого хода четырехполюсника.



.

Если выходные контакты четырехполюсника замкнуты накоротко (выход-ное напряжение равно нулю), то в этом случае входное сопротивление называется сопротивлением короткого замыкания четырехполюсника.



Среднее геометрическое сопротивлений холостого хода и короткого замы-кания называется характеристическим сопротивлением



. (1.6)

При нагрузке симметричного четырехполюсника, равной характеристи-ческому сопротивлению, входное сопротивление четырехполюсника будет также равно характеристическому сопротивлению. Такая нагрузка называет-ся согласованной.

При изменении АЧХ в широких пределах их удобнее представлять в лога-рифмическом масштабе, но логарифмировать можно только безразмерные АЧХ, т.е. АЧХ по напряжению или току.

Логарифмической АЧХ называется величина, выражаемая как

Логарифмическая АЧХ имеет размерность «децибел» (дБ). В пассивных цепях, когда ≤ 1, логарифмическая АЧХ называется ослаблением и обозначается α(ω).



Логарифмическое представление КЧХ дает рабочую постоянную



передачи:

,

где действительная часть есть затухание, а мнимая – ФЧХ.

При синтезе цепей используется понятие нормированная АЧХ , представляющая собой отношение текущего значения А(ω)к максимальному значению:

.

Нормированная АЧХ является безразмерной величиной, ее максимум ра-вен единице.



Импульсной характеристикой h(t) называется реакция y(t) цепи на еди-ничный импульс (δ-функцию) при нулевых начальных условиях (рис. 1.1).

а) б)


Рис. 1.1 Реакция цепи при воздействии δ-функции (а) и произвольной функции (б)
Единичный импульс (δ-функция) определяется следующим образом:

,

причем площадь под δ-функцией равна 1.

Импульсная характеристика является основной характеристикой цепи, по-скольку она позволяет определить реакцию y(t) цепи на любое воздействие x(t), а не только гармоническое:

.

Переходной характеристикой g(t) цепи называется реакция y(t) цепи на единичный скачок 1(t) (функцию Хэвисайда). Переходная характеристика при нулевых начальных условиях связана с импульсной соотношением:

.

Единичный скачок 1(t) связан с δ-функцией соотношением:



.

Значения 1(t) определяются как



.

Реакция y(t) цепи при нулевых начальных условиях определяется выраже-ниями



,

или


,

называемыми интегралами Дюамеля.



Передаточной функцией (операторной передаточной функцией) Н(р) на-зывается отношение L-изображения Y(p) реакции y(t) к L-изображению X(p) воздействия х(t) при нулевых начальных условиях:

L-изображение F(p) какой-либо функции f(t), называемой оригиналом, на-ходится по преобразованию Лапласа:



Обратное преобразование Лапласа позволяет найти оригинал по известно-му L-изображению:



Передаточная функция является L-изображением импульсной характерис-тики, т.е.



(1.7)

Передаточная функция связана с L-изображением G(p) переходной харак-теристики g(t)



(1.8)

Передаточная функция H(p) может быть получена из КЧХ фор-мальным образом, а именно простой заменой в КЧХ переменной jω на оператор p (точнее частоты ω на выражение -jp). КЧХ также может быть получена из передаточной функции Н(р) заменой оператора р на jω.

Также как и КЧХ, передаточная функция бывает четырех видов: операторное передаточное сопротивление

,

операторная передаточная проводимость



передаточная функция по току



передаточная функция по напряжению



где – U1(p), U2(p), I1(p), I2(p) – L-изображения входных и выходных напряже-ний и токов U1(t), U2(t), i1(t), i2(t) соответственно.

Передаточные функции по напряжению и по току также называют опера-торные передаточные коэффициенты по напряжению и по току соответст-венно.

2 Задача синтеза электрических цепей и этапы решения


2.1 Постановка задачи синтеза электрической цепи
При проектировании разнообразных радиотехнических устройств требует-ся решать задачи синтеза конкретных электрических цепей, обладающих же-лаемыми характеристиками и конструктивными параметрами, т.е. первое, удовлетворяющих заданным частотным или временным характеристикам и второе, должных быть реализованными с использованием некоторого набора элементов. Набор элементов, из которых строятся электрические цепи, назы-вается элементным базисом (элементной базой).

Первая часть задачи синтеза решается подбором функции F(x), достаточно близкой к желаемой характеристике ξ(х). В качестве ξ(х) может выступать любая характеристика цепи АЧХ A(ω), квадрат АЧХ А2(ω), ФЧХ φ(ω), ослаб-ление α(ω), импульсная характеристика h(t), переходная характеристика g(t), входное сопротивление Z(ω), передаточная функция H(p). Соответственно в качестве аргумента х могут выступать: частота ω, квадрат частоты ω2, норми-рованная частота c – какая-либо характеристическая частота цепи), время t, оператор р=jω и т.п.

Процесс подбора или приближения функции F(x) называется аппрокси-мацией, желаемая характеристика ξ(х) – аппроксимируемой функцией, функцию F(x) – аппроксимирующей.

Задача аппроксимации является сложной математической задачей. Ее общее решение выходит далее за рамки дисциплины «Основы теории цепей».

После решения задачи аппроксимации получается некоторая функция,

далее необходимую решать вторую задачу синтеза - реализации в виде конкретной электрической цепи.




2.2 Этапы решения синтеза электрической цепи
Задача реализации выполняется в три этапа:

1. Переход от полученной функции к передаточной Н(р), независимо от того, в какой области (частотной или временной) решалась задача аппроксимации.

2. Оценка физической реализуемости передаточной функции Н(р).

3. Выбор метода реализации.

Переход к передаточной функции происходит в соответствии с алгоритма-ми, изложенными в п. 1.2., в частности с выражениями (1.7) и (1.8).

Передаточная функция выражается в виде дробно-рациональной функции:



(2.1)

Условия физической реализации функции (2.1) следующие.

1. Все коэффициенты функции (2.1) вещественные и положительные.

2. Степень полинома числителя не должна превышать степень полинома зна-менателя.

3. Полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица.

Полином Гурвица обладает следующими свойствами:

1. Полином Гурвица степени m может быть представлен в виде произведений полиномов первой и второй степени с вещественными положительными коэффициентами.

.

2. Ни один из коэффициентов bm, bm-1,..., b1, b0 полинома Гурвица не равен нулю и все они положительные (точнее, все они того же знака, что и bm).

3. При замене оператора р на jω у получившегося из полинома Гурвица комп- лексного числа (комплексного полинома) аргумент монотонно возрастает от 0 до при изменении частоты ω от 0 до ∞.

4. Нули вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица (при замене p на jω) являются простыми, вещественными (расположены на частотной оси) и чередуются, т.е. между любыми двумя нулями полинома расположен нуль полинома и наоборот.

3 Методы реализации пассивных двухполюсников
3.1 Реактансные функции
Сопротивление Z(p) и проводимость Y(p) реактивных двухполюсников

являются реактансными функциями.

Реактансные функции относятся к положительным вещественным функ-циям, являющимися дробно-рациональными функциями типа (2.1) и облада-

ющими следующими свойствами.

1. Все коэффициенты вещественны и неотрицательны.

2. Наибольшие и наименьшие степени числителя и знаменателя отличаются не больше, чем на единицу.

3. Значения функции вещественны при вещественных значениях переменной.

4. Ни один из полюсов (нулей знаменателя) не располагается в правой полу-плоскости.

5. Полюсы, расположенные на мнимой оси, простые (некратные).

6. Вещественная часть функции (при замене оператора р на jω) – положительна.

Реактансные функции Z(р) формируются из полиномов Гурвица υ(р)

или ,

где k – некий положительный коэффициент.

Реактансные функции имеют особые свойства, отличающие их от осталь-ных положительных вещественных функций.

1. Нули и полюсы расположены только на мнимой оси.

2. Нули и полюсы чередуются, причем как в начале координат (р=0 или ω=0), так и на бесконечности (р=±j∞ или ω=±∞) реактансная функция имеет либо нуль, либо полюс.

3. Значения реактансной функции с ростом частоты на всех интервалах рас-тут в алгебраическом смысле.

4. Любая реактансная функция может быть представлена в виде разложения на сумму простых дробей вида

(3.1)

где m – число полюсов функции (кроме р=0 и р = ±j∞), деленное на два, при-чем все коэффициенты разложения являются вещественными числами. В этом разложении слагаемое соответствует полюсу при р = ±j∞, слагаемое - полюсу при р=0, а слагаемое под знаком суммирования – соответствует парам полюсов при р = ±jωi (при их наличии).

Значения коэффициентов разложения А, А0 , Аi находятся по формулам

5. Сумма любого числа реактансных функций также реактансная функция.

3.2 Методы Фостера реализации реактансных функций
Первая форма Фостера связана с реализацией функции сопротивления. Сопротивление Z(p) представляется в виде (3.1). Тогда слагаемые в (3.1)

можно трактовать следующим образом.



- операторная индуктивность (L= А), полюс при р = ∞;

- операторная емкость (), полюс при р = 0;

- операторное сопротивление параллельного контура (

), два чисто мнимых полюса при р = ±jωi.

Поскольку сопротивления суммируются при последовательном соедине-нии, то выражение (3.1) соответствует двухполюснику, состоящему из после-довательно соединенных индуктивности L=A0, конденсатора и m параллельных контуров с и (рис. 3.1.)



Рис. 3.1 Схема реактивного двухполюсника, реализующего реактансную функцию (3.1) по первой форме Фостера


Если какие-либо коэффициенты в выражении (3.1) равны нулю, значит, соответствующий элемент отсутствует (рис. 3.2).

а)

б)

в)

г) д) е)

Рис. 3.2 Схемы двухполюсников, реализованных по первой форме Фостера: А= 0 (а), А0 = 0 (б), А= 0 и А0 = 0 (в), все Аi = 0 (г), А0 = 0 и все Аi = 0 (д), А= 0 и все Аi = 0 (е)



Пример 3.1 Найти реактивный двухполюсник, сопротивление которого задано реактансной функцией



Решение: Первоначально определяются нули ( ) и полюсы ( ). Можно отметить, что нули и полюсы чередуются. Также следует отм-етить, что все коэффициенты в заданном выражении вещественны и поло-жительны. Таким образом, данное выражение соответствует первым двум

свойствам реактансных функций. Несложно отметить и его соответствие другим двум свойствам. В соответствии с количеством полюсов Z(p) име-ется четыре слагаемых

.

Далее определяются коэффициенты разложения, и, следовательно, зна-чения реактивных элементов.





Схема соответствующая заданному выражению Z(p) имеет следующий вид (рис. 3.3).



Рис. 3.3 Схема реализации реактивного двухполюсника к примеру 3.1
Вторая форма Фостера связана с реализацией проводимости искомого двухполюсника. Выражение для проводимости аналогично (3.1)

, (3.2)

где m – число полюсов функции (кроме р = 0 и р = ±jω), деленное на два.

Двухполюсник, чья проводимость описывается выражением (3.2), пред-ставляет собой параллельное соединение конденсатора (), индук-тивности () и m последовательных контуров ().

В зависимости от значений коэффициентов в (3.2) могут быть различные варианты реализации двухполюсника (рис. 3.4).



а) б)

в) г)




д) е) ж)

Рис. 3.4 Схемы двухполюсников, реализующих вторую форму Фостера, нет нулевых коэффициентов (а), А= 0 (б), А0 = 0 (в), А= 0 и А0 = 0 (г), все Аi = 0 (д), А0 = 0 и все Аi = 0 (е), А= 0 и все Аi = 0 (ж)


Пример 3.2 Найти реактивный двухполюсник, проводимость которого обратна сопротивлению Z(p) (пример 3.1).

.

Решение. Нули и полюса функций Y(p) и Z(p) поменялись местами. Тогда

.

Соответственно номиналы элементов



Схема двухполюсника имеет вид (рис. 3.5).



Рис. 3.5 Схема двухполюсника к примеру 3.2

3.3 Метод Кауэра реализации реактансных функций


Метод Кауэра предполагает разложение реактансной функции в цепную дробь. Первая форма Кауэра – это реализация функции сопротивления с по-люсом при р = j∞ , вторая - сопротивления с полюсом при р=0.

Метод Кауэра основан на том, что любая сравнительно сложная дробь (числитель или знаменатель выше первого порядка) может быть представлена в виде суммы двух более простых реактансных функций. Так, реактансная функция вида (3.1), имеющая полюс при р = j∞ может быть представлена суммой



, (3.3)

где А> 0, а Z1(p) – некая реактансная функция, имеющая в точке р = j∞ нуль (Z1(p) не может иметь в точке р = j∞ полюс вследствие определения коэффициента А).

Выражение (3.3) можно представить как

, (3.4)

где L= Аноминал индуктивности, последовательно соединенной с двухполюсником сопротивлением Z1(p), образуя двухполюсник сопротивлением Z(p) (рис. 3.6.).



Рис. 3.6 Двухполюсник Z(p) как последовательное соединение индуктивности L и двухполюсника Z1(p)


Тогда встает вопрос реализации двухполюсника, имеющего сопротивле-ние Z1(p) или проводимость

Поскольку в точке р = j∞ у функции Z1(p) не полюс, а нуль, то функция Y1(p) в этой точке наоборот не имеет нуля, а имеет полюс, т.е.



или


, (3.5)

где С1 – находится как соответствующий коэффициент Ав разложении Y1(p), а Y2(p) – некая реактансная функция, имеющая не полюс, а ноль в точке р = j∞. Тогда



Выражение (3.5) описывает параллельное соединение емкости С1 и двух-полюсника с проводимостью Y2(p) (рис. 3.7).



Рис. 3.7 Двухполюсник Y1(p) как параллельное соединение емкости С1 и двухполюсника Y2(p)


Реализация как сопротивление функции причем функция Z2(p) имеет в точке р = j∞ полюс, аналогична реализации как функции Z(p), но порядок Z2(p) ниже порядка Z(p), и т.д., до тех пор пока не образуется функция первого порядка, реализуемая как индуктивность или емкость.

Таким образом, Z(p) последовательно преобразуется в виде выражений (3.4) и (3.5), образуя поочередно последовательно-параллельное соединение или лестничный двухполюсник (рис. 3.8.).




Рис. 3.8 Реализация функции Z(p) в виде лестничного двухполюсника


Разложение реактансной функции в цепную дробь сводится к последова-тельному делению:

- полинома числителя на полином знаменателя,

- полинома знаменателя на остаток от первого деления,

- остатка от первого деления на остаток от второго деления,

- остатка от второго деления на остаток от третьего деления и т.д.

Вычисляемые в процессе деления частные являются коэффициентами цепной дроби, а коэффициенты при операторе р в них – значениями индук-тивностей и емкостей соответственно.



Пример 3.3 Построить лестничный двухполюсник,, сопротивление которого задано реактансной функцией (пример 3.1).

Решение. Реактансную функцию необходимо представить в виде отношения двух полиномов.



Затем последовательно производится деление.

Первое деление:











0,5р




Второе деление:














Третье деление:
















Четвертое деление:














Пятое деление:
















Шестое деление:
















Цепная дробь имеет вид:



Соответствующие ей значения элементов двухполюсника (рис. 3.9.): L1=0,5 Гн, С1=0,4 мкФ, L2=1,56 Гн, С3=0,221 мкФ, L4=3,5 Гн, С5=0,129 мкФ.



Рис. 3.9 Лестничный двухполюсник к примеру 3.3
Для использования второй формы Кауэра реактансная функция Z(p) должна быть представлена в виде

или , (3.6)

где - номинал емкости, последовательно соединенной с двухполюс-ником сопротивлением Z1(p) (рис. 3.10), причем у реактансной функции Z1(p) нет полюса при р = 0 (в этой точке Z1(p) имеет нуль из определения коэффи-циента А0). Тогда при р = 0 полюс имеет проводимость . Таким образом, выражение (3.6) раскладывается в цепную дробь (рис. 3.10).



.

Рис. 3.10 Лестничный двухполюсник, реализующий вторую форму Кауэра


Разложение реактансной функции в цепную дробь по второй форме Кауэра производится аналогично разложению по первой.

3.4 Каноничность схем реактивных двухполюсников


Реактивные двухполюсники, реализованные по обоим методам Фостера или Кауэра, являются каноническими и обладают следующими свойствами:

1. Содержат минимально-необходимое число элементов.

2. Число реактивных элементов равно числу нулей и полюсов.

3. Значения индуктивностей при реализации схем по вторым формам выше соответствующих значений при реализации первых форм.

Если расположение нулей и полюсов неизвестно, то легче реализовать лестничный двухполюсник. Однако, для практических задач предпочтитель-нее использование параллельных контуров (первая форма Фостера), позво-ляющее учесть паразитную емкость катушек индуктивности соответствую-щим уменьшением емкости параллельно подключенного конденсатора.

4 Методы реализации четырехполюсников


4.1 Мостовая реализация
При расчете симметричных четырехполюсников, имеющих чисто актив-ное характеристическое сопротивление , не зависящее от час-тоты, используются характеристические параметры. Такими четырехполюс-никами являются мостовые четырехполюсники (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Мостовой четырехполюсник


Сопротивления холостого хода и короткого замыкания легко находятся из соответствующих схем (рис. 4.2).

а) б)


Рис. 4.2 Эквивалентные схемы мостового четырехполюсника в режимах холостого хода (а) и короткого замыкания (б)
Сопротивления холостого хода и короткого замыкания соответственно равны:

,

где - сопротивления плеч мостового четырехполюсника.

В соответствии с (1.6) характеристическое сопротивление мостового четырехполюсника

В случае согласованной нагрузки



Откуда


(4.1)

т.е. - сопротивление взаимно-обратных двухполюсников.

А-параметры мостового четырехполюсника связаны с сопротивлениями плеч выражениями

Тогда передаточная функция этого четырехполюсника с учетом (4.1)



Откуда


(4.2)

Необходимо отметить, что передаточная функция Н(р) реализуется с точ-ностью до постоянного вещественного множителя К, т.е. в (4.2) вместо Н(р) можно записывать К·Н(р). Тогда, если Н(р) удовлетворяет условиям физичес-кой реализуемости (см. п.2), всегда можно подобрать значение К для физи-ческой реализации . По функциям могут быть построены RLC-двухполюсники, на базе которых строится мостовой четырехполюсник.

Реализация заданной передаточной функции Н(р) в виде одной мостовой схемы оказывается весьма сложной и неэффективной, чаще на практике ис-пользуют каскадное соединение более простых мостовых схем. С этой целью Н(р) разлагают на произведение N-передаточных функций.

каждая из которых реализуется в виде несложной мостовой схемы. Но для всех схем характеристическое сопротивление выбирается одинаковым, в ре-зультате получается каскадное соединение согласованных четырехполюсни-ков. При этом характеристическое сопротивление всей цепи равно той же ве-личине, кроме того, отклонения номиналов элементов от рассчитанных зна-чений оказывают меньшее влияние.

Мостовая реализация обладает недостатками в том, что получаемые схемы имеют большое число элементов и не обладают возможностью подключения к общей шине, т.к. мостовой четырехполюсник уравновешен, т.е. не заземлен.

Пример 4.1 Построить схему мостового четырехполюсника, имеющего передаточную функцию



и активную нагрузку сопротивлением 103 Ом.

Решение. В соответствии с (4.2) для согласованного с нагрузкой мостового четырехполюсника сопротивление Za равно

.

Соответственно проводимостьYa(p) равна



Полученное выражение для проводимости соответствует параллельному соединению конденсатора емкостью 1 нФ и резистора проводимостью 6·10-3 См (сопротивлением 166 Ом).

Сопротивление Zб(р) равно



и соответствует последовательному соединению катушки индуктивностью 1 мГн и резистора сопротивлением 6 кОм (рис. 4.3).



Рис. 4.3 Мостовой четырехполюсник к примеру 4.1

4.2 Реализация на основе Т- и П-образных симметричных схем


Недостатки мостовых схем устраняются переходом к симметричным Т- и П-образным четырехполюсникам (рис. 4.4). Симметричный Т-образный четырехполюсник эквивалентен мостовому (имеет одинаковые параметры и характеристики), если

(4.3)

Рис. 4.4 Симметричные Т- (а) и П- (б) образные четырехполюсники


Тогда после определения функций Za(р) и Zб(р) по выражениям (4.2), функции Z1(р) и Z2(р) находятся с помощью (4.3).

Пример 4.2. Построить Т-образный симметричный четырехполюсник для передаточной функции и сопротивления нагрузки (пример 4.1).

Решение. Двухполюсник сопротивлением Z1 соответствует двухполюснику сопротивлением Za (пример 4.1) в силу (4.3).

Функция Z2(р) равна



Ее реализация возможна любым способом, например, лестничным, по первой форме Кауэра (рис. 4.5).



Рис. 4.5 Симметричный Т-образный четырехполюсник к примеру 4.2
Симметричный П-образный четырехполюсник эквивалентен мостовому, если

(4.4)

После задания передаточной функции и сопротивления нагрузки с помо-щью выражений (4.2) находятся сопротивления плеч мостового, а затем с по-мощью (4.4) сопротивления П-образного четырехполюсника.



Пример 4.3 Построить П-образный симметричный четырехполюсник для передаточной функции и сопротивления нагрузки (пример 4.1).

Решение. В соответствии с (4.4) по известной функции Zб (пример 4.1) находится функция Y1(р) или ей обратная Z1(р).



Таким образом двухполюсник с проводимостью Y1(р) идентичен двухпо-люснику сопротивлением Zб(р) (пример 4.1).

Проводимость продольной ветви Y2(р) из (4.4) равна



что соответствует параллельному соединению конденсатора емкостью 0,5 нФ и резистора проводимостью 3·10-3 См (сопротивление 333 Ом) (рис. 4.6).



Рис. 4.6 Симметричный П-образный четырехполюсник к примеру 4.3

4.3 Лестничная реализация полиномиальных электрических цепей


Передаточные функции Н(р) вида

(4.5)

имеющие в знаменателе полином Гурвица, называются полиномиальными, а цепи с такими передаточными функциями – полиномиальными цепями.

С помощью несложных преобразований выражение (4.5) можно представить в виде

(4.6)

Для четырехполюсника, нагруженного на реальный генератор напряжением Е(р) и сопротивлением Rг (рис. 4.7) и разомкнутым выходом (холостом ходе), передаточная функция имеет вид



(4.7)

где U1(p) и U2(p) – операторные изображения входного и выходного напряже-ний при холостом ходе, I1(p) – операторное изображение входного тока при холостом ходе, Z11(p) и Z21(p) – собственные Z-параметры четырехполюсника (входное и взаимное сопротивления холостого хода).



Рис. 4.7 Четырехполюсник, нагруженный на реальный генератор в режиме холостого хода


Из сравнения (4.6) и (4.7) следует, что соответствие выражений будет при

(4.8)

Поскольку υ(p) – полином Гурвица, то выражение (4.8) будет реактансной функцией, т.е. выражение (4.8) действительно может быть реализовано как входное сопротивление четырехполюсника. Учитывая, что числитель в (4.8) может иметь степень большую или меньшую чем знаменатель, то при реали-зации Z11(p) в виде лестничного двухполюсника по первой форме Кауэра че-тырехполюсник представляет продольные ветви из индуктивностей и попе-речные из конденсаторов (рис. 4.8) с четным или нечетным числом реактив-ных элементов.



Рис. 4.8 Возможные варианты реализации полиномиальных цепей при большей (а) и меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью знаменателя в выражении (4.8)


Если рассмотреть четырехполюсник с идеальным источником тока I0(p) на входе, нагруженный на сопротивление Rн (рис. 4.9) и током I(p) на выходе, то его передаточная функция имеет вид

где Z22(р) – выходное сопротивление четырехполюсника с разомкнутым входом.

Тогда реактансная функция, подлежащая реализации

. (4.9)

Рис. 4.9 Четырехполюсник, нагруженный на сопротивление, с идеальным источником тока на входе


Полиномиальные цепи могут иметь соответствующий вид (рис. 4.10).

Рис. 4.10 Возможные варианты реализации полиномиальных цепей при большей (а) или меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью знаменателя в выражении (4.9)


Если четырехполюсник нагружен на входе на идеальный генератор напряжения Е(р), а на выходе – на сопротивление Rн (рис. 4.11), то его передаточная функция имеет вид:



Рис. 4.11 Четырехполюсник, нагруженный на идеальный генератор напряжения на входе и сопротивления на выходе


Реализации подлежит реактансная функция выходной проводимости

(4.10)

Полиномиальные цепи при этом имеют четное или нечетное число эле-ментов, в зависимости от того меньше или больше степень числителя в (4.10) степени знаменателя (рис. 4.12).



а б

Рис. 4.12 Варианты реализации полиномиальных цепей при большей (а) или меньшей (б) степени числителя по сравнению со степенью знаменателя в выражении (4.10)


При реализации выражений (4.8) – (4.10) в цепи могут создаваться резонансные контура в продольных и поперечных ветвях. Если в продольной ветви получился параллельный контур (или в поперечной – последовательный (рис. 4.13), то на резонансной частоте соответствующего контура будет иметь всплеск затухания (ослабления), эквивалентный соответственно разрыву и короткому замыканию цепи. В результате сигнал от зажимов 1-1’ к зажимам 2-2’ передаваться не будет.

Рис. 4.13 Цепи с всплесками затухания с параллельными (а) или последовательными (б) контурами

При синтезе полиномиальных цепей в целях управления частотными характеристиками (коррекцией) цепи целесообразно представлять в виде каскадного соединения цепей первого и второго порядка. Для этого для известной передаточной функции Н(р) типа (2.1) необходимо выполнить следующие действия.

1. Вынести коэффициенты при старших членах в виде отдельной дроби

2. Найти нули р0k и полюсы р*k функции Н’(p).

3. Каждые два комплексно-сопряженных нуля и два комплексно-сопряженных полюса () использовать соответственно для записи чис-лителя и знаменателя передаточной функции некоего k-го звена второго по-рядка.



4. Если нуль р0i и полюс р*i вещественны, то передаточная функция i-го зве-на первого порядка имеет вид:



В итоге передаточная функция всей цепи предстает в виде



Каждое звено реализуется по мостовой или Т-образной схеме. Для удоб-ства для каждого звена можно взять коэффициент передачи равный , где n – число звеньев. Также все звенья имеют одинаковое характеристическое сопротивление равное сопротивлению нагрузки последнего звена, т.е. всей цепи (рис. 4.14).



Рис. 4.14 Каскадно-согласованная реализация сложной цепи
Примечание. При использовании в качестве звеньев устройства на операционных усилителях (активные RC-фильтры) возможна каскадно-развязанная реализация при условии, что входное сопротивление любого звена значительно превышает выходное сопротивление предыдущего (т.е. имеет место реализация режима холостого хода).
5 Основные определения и классификация электрических фильтров
5.1 Условия безыскаженной передачи сигналов
При передаче сигнала через любую электрическую цепь для его правильного восприятия необходимо, чтобы входной сигнал x(t) (воздействие) и выходной сигнал y(t) (реакция) имели одинаковую форму (рис. 5.1).

а)

б) в)

Рис. 5.1 Электрическая цепь (а), воздействие (б) и реакция (в) при неискаженной



передаче
Это условие математически записывается как

y(t) = k·x(t-t0), (5.1)

где k - некий вещественный коэффициент, а t0 – время задержки реакции.

Если подвергнуть преобразованию Лапласа выражение (5.1), то оно будет иметь вид



откуда по определению передаточная функция цепи имеет вид



При переходе к комплексной частотной функции получается



или АЧХ цепи есть величина постоянная,



(5.2)

а ФЧХ цепи



(5.3)

является линейной функцией частоты (рис. 5.2).



а) б)


Рис. 5.2 АЧХ (а) и ФЧХ (б) цепи с безыскаженной передачей
Физический смысл выражений (5.2) и (5.3) состоит в том, что все гармоники yk(t) реакции имеют амплитуды одинаково пропорциональные амплитудам гармоник хk(t) воздействия, и все они имеют одинаковый сдвиг по времени.

Время t0 называется временем задержки или групповым временем задержки tзад(ω), оно связано с ФЧХ соотношением (в общем случае зависящим от частоты)



Условия безыскаженной передачи (5.2) и (5.3) выполняются только в резистивных цепях, где 00 = 0.

5.2 Определение фильтра
Под электрическим фильтром в широком смысле понимают четырехпо-люсник, который преобразует воздействия, представляющие смесь сигнала с помехой, с целью получения реакции с требуемой точностью.

К таким фильтрам относятся амплитудные и фазовые корректоры, согла-сованные фильтры, оптимальные и адаптивные фильтры.

Под электрическим фильтром в узком смысле понимают частотно-изби-рательную или селективную цепь, которая разделяет сигнал и помеху по час-тоте.

Избирательные или селективные фильтры пропускают сигналы в за-данной полосе частот, называемой полосой пропускания, и подавляют сиг-налы в другой, тоже заданной полосе частот, называемой полосой задержи-вания.

В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задержи-вания различаются фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные (РФ).

Синтез фильтра состоит в следующем.

1. Выбор типа фильтра.

2. Задание требований к характеристикам фильтра.

3. Выбор метода аппроксимации характеристик фильтра.

4. Расчет передаточной функции фильтра.

5. Построение по передаточной функции принципиальной схемы.

6. Реализация полученной схемы на выбранной элементной базе.

5.3 Фильтр низких частот


Идеальный фильтр нижних частот имеет полосу пропускания в диапазоне частот от нуля до граничной частоты f = fгр и полосу задерживания от граничной частоты до бесконечности (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Нормированная АЧХ идеального ФНЧ


Реальный ФНЧ не может иметь идеальную АЧХ. Его АЧХ имеет полосу пропускания от f=0 до f = fχ, где частота fχ – называется частотой среза полосы пропускания. Причем в полосе пропускания задается допустимое отклонение δ1 значения АЧХ от единицы (рис. 5.4). Полоса задерживания начинается с частоты f = fk , где fk – называется граничной частотой полосы задерживания. В полосе задерживания задается допустимое отклонение δ2 значения АЧХ от нуля. Полосы пропускания и задерживания разделены сравнительно узкой переходной полосой в пределах fχ < f < fk .

Рис. 5.4 АЧХ реального ФНЧ


При использовании вместо АЧХ характеристик ослабления (затухания) допустимые отклонения задаются в логарифмическом масштабе:

для полосы пропускания:

максимальное ослабление

максимальное затухание

для полосы задерживания:

минимальное ослабление

минимальное затухание

Для переходной полосы требования не задаются.

5.4 Фильтр верхних частот
Идеальный фильтр верхних частот имеет полосу пропускания в диапазоне частот от граничной частоты f = fгр до бесконечности и полосу задерживания от нуля до граничной частоты (рис. 5.5).

Рис. 5.3 Нормированная АЧХ идеального ФВЧ


Реальный ФВЧ имеет полосу пропускания от f = fχ до бесконечности, где частота fχ –частота среза полосы пропускания. В полосе пропускания задается допустимое отклонение δ1 значения АЧХ от единицы. Полоса задерживания расположена от нуля до f = fk , где fk – называется граничной частотой полосы задерживания. В полосе задерживания задается допустимое отклонение δ2 значения АЧХ от нуля. Полосы пропускания и задерживания разделены сравнительно узкой переходной полосой в пределах fk < f < fχ (рис. 5.6).

Рис. 5.6 . АЧХ реального ФВЧ



5.5 Полосовой фильтр
Полосовой фильтр характеризуется пятью частотными полосами (рис. 5.7): полосой пропускания в пределах от f = f-χ до fχ, где f-χ и fχ – левая и правая частоты среза полосы пропускания; двумя полосами задерживания: одна – от нуля до граничной частоты f = f-k, другая – от граничной частоты f = fk до бесконечности; двумя полосами задерживания: одна – от f = f-k до f = f-χ,, другая – от f = fχ до fk. Причем переходные полосы обычно различаются по ширине. Для полосы пропускания задается допустимое отклонение δ1 значения АЧХ от единицы. Для полос задерживания задается допустимое отклонение δ2 значений АЧХ от нуля, хотя это отклонение для полос задерживания может быть и различным.

а)

б)

Рис. 5.7 Нормированные АЧХ идеального (а) и реального ПФ



5.6 Режекторный фильтр
Режекторный фильтр называемый также заграждающим или полосно-заграждающим характеризуется пятью частотными полосами (рис. 5.8): двумя полосами пропускания: одна – от нуля до частоты среза f = f-χ, другая – от частоты среза f = fχ до бесконечности; полосой задерживания от одной граничной частоты f = f-k до другой - f = fk; двумя переходными полосами: одна от частоты f = f-χ до f = f-k, другая – от f = fk до f = fχ. Переходные полосы могут быть разные по ширине. Для полосы пропускания задается максимальное отклонение δ1 значения АЧХ от единицы, для полосы задерживания задается максимальное отклонение δ2 значения АЧХ от нуля.

а)

б)

Рис. 5.8 Нормированные АЧХ идеального (а) и реального (б) режекторных фильтров



5.7 Нормирование параметров фильтра
Нормированная частота Ω получается делением угловой ω или циклической f частоты на нормирующую частоту

В качестве нормирующей частоты ωн (или fн) выступают для ФНЧ и ФВЧ частоты среза ωχ (или fχ), для ПФ и РФ – среднее геометрическое частот среза



или .

Тогда для ФНЧ и ФВЧ нормированная частота среза равна единице



Нормированный оператор Лапласа Λ определяется как



Нормированная АЧХ рассматривалась выше (см. п. 1.2).

При нормировании импедансов в качестве нормирующей величины выступает сопротивление нагрузки Rн:

где - нормированные, а Z(p) и Z(Λ) – ненормированные импедансы как функции ненормированного (p) или нормированного (Λ) операторов.

Тогда для резистивного элемента

где - нормированное и ненормированное значения сопротивления;

для индуктивного элемента

или


где - нормированное, - нормирующее, а L – действительное значения индуктивности;

для емкостного элемента

или


где - нормированное, - нормирующее, а С – действительное значения емкости.



5.8 Сведение синтеза фильтра к синтезу низкочастотного фильтра-прототипа
Для решения задачи синтеза фильтров независимо от их требуемых характеристик едиными, общими методами расчет всех фильтров сводится в расчету ФНЧ-прототипа. Для этого необходимо сделать преобразование частотной оси с сохранением при этом значения АЧХ, например, если для АЧХ ФВЧ заменить частоту на величину ей обратную, то получится АЧХ ФНЧ (рис. 5.4 и 5.6).

Процедура преобразования заключается в следующем.

1. Преобразование частот ω, частот среза ωи ωχ и граничных частот ω-k и ωk в частоты Ω, Ωχ и Ωk ФНЧ-прототипа (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Преобразование частот для соответствия АЧХ фильтров

АЧХ ФНЧ-прототипа



Вид

фильтра


Частоты ФНЧ – прототипа




?

?χ

?k

ФНЧ

ω

ωχ

ωk

ФВЧ

1

ω


1

ωχ



1

ωk



ПФ






Наименьшее из
и


РФ






Наименьшее из

и



Примечания:

1. Для ПФ после преобразования начало координат переносится в середину (приближенно) полосы пропускания (точка , а точки ω=0 и ω=∞ объединяются в точку ?=∞).

2. Для РФ после преобразования начало координат объединяет две точки ω=0 и ω=∞, а точка преобразуется в ?=∞.

3. Для ПФ и РФ величины и больше нуля, а и меньше нуля, но модули соответствующих величин равны.

4. Для ПФ и РФ модули величин и ии могут быть не равны.

2. Преобразование ?χ и ?k ненормированного ФНЧ – прототипа в частоты Ωχ и Ωk нормированного ФНЧ – прототипа



.

3. Расчет нормированного ФНЧ-прототипа при заданных допустимых отклонениях δ1 и δ2 и получившегося значения . Расчет производится методами аппроксимации и подбора вида передаточной функции.

4. Определение нулей р0п и полюсов р*п нормированного ФНЧ – прототипа.

5. Пересчет нулей и полюсов ФНЧ – прототипа в нули и полюсы синтезируемого фильтра (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Преобразование нулей и полюсов ФНЧ – прототипа в нули и полюсы фильтра



ФНЧ-

прототип


ФВЧ

ПФ

РФ




нуль, р0

полюс,

р*



нуль, р0

полюс, р*

нуль, р0

полюс, р*

нуль, р0п

-







-

-




полюс, р*п




-

-







-

Примечание. Частота .

6. Построение передаточной функции и синтез по ней четырехполюсника в соответствии с выше рассмотренными правилами (см. разд. 4).

6 Синтез фильтров нижних частот
6.1 Фильтры Баттерворта
Функция квадрата АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка имеет вид:

(6.1)

где Ω – нормированная частота.

Частотой среза является значение Ω=1, при этом АЧХ принимает значение 1-?1, равное для любого n (рис. 6.1).

Рис. 6.1 АЧХ фильтра Баттерворта


Полоса пропускания находится в пределах от нуля до единицы, переходная полоса – от единицы до Ωk , полоса задерживания от Ωk до ∞.

Фильтр Баттерворта - с максимально-плоской АЧХ вследствие того, что первые n производных функции (6.1) равны нулю в точках Ω=0 и Ω=∞.

При увеличении n переходная полоса уменьшается, т.е. улучшается качество избирательности фильтра, которое можно оценивать с помощью коэффициента прямоугольности Кпр. Данный коэффициент можно оценивать по отношению полосы пропускания к сумме полосы пропускания и переходной полосы (рис. 6.1), называемой полосой мешания.

(6.2)

Значение коэффициента прямоугольности, равное единице, может быть только у идеального фильтра. У реальных фильтров, поскольку Ωk>1, значе-ние коэффициента прямоугольности меньше единицы.

Достоинством фильтров Баттерворта является близость их ФЧХ в пределах полосы пропускания к линейной функции.

Единственным параметром фильтра, по которому проводится процедура аппроксимации является порядок n. Смысл аппроксимации состоит в том, чтобы подобрать такое значение n, при котором АЧХ фильтра удовлетворяет требованиям.

При замене в (6.1) нормированной частоты нормированным оператором (см. п. 5.7) данное выражение принимает вид:

(6.3)

Минимальный порядок n находится из условия



или


.

Тогда


и

, (6.4)

где - определяется минимальным затуханием в полосе задерживания.

Значение n определяется как наименьшее целое число, удовлетворяющее выражению (6.4).



Пример 6.1. Рассчитать порядки фильтров Баттерворта для величин затухания α в полосе задерживания -60, -40 и -20 дБ и нормированного значения частоты Ωк начала полосы задерживания, равного двум.

Решение. В соответствии с выражением (6.4) получаются следующие значения величин :

для α = -60 дБ – 9,666;

для α = -40 дБ – 6,644;

для α = -20 дБ – 3,329;

в соответствии с чем порядки фильтров равны 10, 7 и 4.

Выражение (6.3) не имеет нулей, кроме или (числитель нельзя разложить на сомножители). Для разложения на сомножители нужно найти все 2n полюсы из решения уравнения



откуда


так как а , то формально получившееся выражение описывает один 2n-кратный полюс, однако, если представить , где k – любое целое число, но целесообразно взять k от 0 до 2n-1 или от –n до n-1, что полностью соответствует представлению чисел на комплексной плоскости и понятию «аргумент комплексного числа», то получается



(6.5)

Нетрудно видеть, что модуль любого полюса равен 1,



.

Тогда полученные 2n полюсы – комплексные попарно сопряженные чис-ла, расположенные равномерно через угол в на окружности единичного радиуса (рис. 6.2).



Рис 6.2 Расположение полюсов выражения (6.2) (для значения n=4)


Для достижения устойчивости фильтра используются только те n полюсов, которые расположены в левой полуплоскости (имеют отрицательную действительную часть), т.е. должно выполняться неравенство

.

Это неравенство верно при



.

Поскольку k целое число, то нужные полюсы получаются при .

Тогда передаточная функция образуется только данными n полюсов

/ (6.6)

Причем выражение в знаменателе образует полином Гурвица и называется полиномом Баттерворта. Тогда (6.6) запишется как



Полиномы Баттерворта младших порядков:





Пример 6.2. Для условий примера 6.1. определить полюсы и указать те из них, которые используются для образования передаточной функции.

Решение. В соответствии с выражением (6.5) для n=10 полюсы имеют следующие значения:

P10(-10) = 0,156 - j0,988;

P10(-9) = 0,454 – j0,891;

P10(-8) = 0,707 – j0,707;

P10(-7) = 0,891 – j0,454;

P10(-6) = 0,988 – j0,156;

P10(-5) = 0,988 + j0,156;

P10(-4) = 0,891 + j0,454;

P10(-3) = 0,707 + j0,707;

P10(-2) = 0,454 + j0,891;

P10(-1) = 0,156 + j0,988;

P10(0) = -0,156 + j0,988;

P10(1) = -0,454 + j0,891;

P10(2) = -0,707 + j0,707;

P10(3) = -0,891 + j0,454;

P10(4) = -0,988 + j0,156;

P10(5) = -0,988 – j0,156;

P10(6) = -0,891 – j0,454;

P10(7) = -0,707 – j0,707;

P10(8) = -0,454 – j0,891;

P10(9) = -0,156 – j0,988.

В образовании передаточной функции используются последние десять полюсов с P10(0) по P10(9).

Для n=7 полюсы имеют значения:

P7(-7) = 0,223 – j0,975;

P7(-6) = 0,623 – j0,782;

P7(-5) = 0,901 – j0,434;

P7(-4) =1;

P7(-3) = 0,901 + j0,434;

P7(-2) = 0,623 + j0,782;

P7(-1) = 0,223 + j0,975;

P7(0) = -0,223 + j0,975;

P7(1) = -0,623 + j0,782;

P7(2) = -0,901 + j0,434;

P7(3) = -1;

P7(4) = -0,901 – j0,434;

P7(5) = -0,623 – j0,782;

P7(6) = -0,223 – j0,975.

В образовании передаточной функции используются последние семь полюсов с P7(0) по P7(6).

Для n=4 полюса имеют значения:

P4(-4) = 0,383 – j0,924;

P4(-3) = 0,924 – j0,383;

P4(-2) = 0,924 + j0,383;

P4(-1) = 0,383 + j0,924;

P4(0) = -0,383 + j0,924;

P4(1) =- 0,924 + j0,383;

P4(2) = -0,924 – j0,383;

P4(3) = -0,383 – j0,924;

В образовании передаточной функции используются последние четыре полюса с Р4(0) по Р4(3).

Пример 6.3. Получить АЧХ фильтров Баттерворта порядков 1,2,3 и 4.

Решение. Из полиномов Баттерворта младших порядков и замены получаются соответственно КХЧ фильтров Баттерворта:

для n=1

для n=2

для n=3

для n=4

Им соответствуют АЧХ:







Фильтры Баттерворта наиболее полно соответствуют условиям безыскаженной передачи по амплитуде и фазе, они содержат n реактивных элементов (в продольных ветвях – индуктивности, в поперечных – емкости), но при прочих равных условиях имеет более высокий порядок, чем другие типы фильтров.

6.2 Фильтры Чебышёва
Фильтры Чебышёва I рода обладают равноволновой АЧХ в полосе про-пускания и монотонной в полосе задерживания (рис. 6.3). Функция квадрата АЧХ фильтра n-го порядка имеет вид

(6.7)

где СN(Ω) – полином Чебышёва N-го порядка; ε – параметр, управляющий частотой пульсаций (неравномерностью).



Рис. 6.3 Нормированная АЧХ фильтра Чебышёва I рода


Полином Чебышёва степени N определяется выражением

или для любого х



где ch(x) – гиперболический косинус, вычисляемый по формуле



;

а Arch(x) – гиперболический ареа-косинус (функция, обратная гиперболи-ческому косинусу), вычисляемый по формуле



Тогда , , , ,

Для вычисления полиномов высоких порядков можно использовать рекур-рентную формулу

.

Коэффициент полинома Чебышёва степени N при старшей степени аргу-мента равен 2N-1. Для всех значений аргумента, по модулю не превышающих единицу, модуль полинома Чебышёва также не превосходит единицу

Параметр ε в (6.7) определяется из максимального допустимого затухания αmax в полосе затухания



(6.8)

откуда нетрудно получить



или


(6.9)

Пример 6.4 Определить значение параметра ε для значения допустимого отклонения ?1 в полосе пропускания, равным .

Решение: В соответствии с выражением (6.9) значение параметра ε равно 1.

Порядок фильтра n определяется как наименьшее целое, удовлетворяю-щее условию



(6.10)

Пример 6.5 Определить порядки фильтров Чебышёва I рода для условий примера 6.1. и 6.3.

Решение: В соответствии с выражением (6.10) получены следующие значения величин :

для α= -60 дБ - 5,772;

для α= -40 дБ - 4,023;

для α= -20 дБ - 2,269;

в соответствии с чем порядки фильтров равны 6,5 и3.

Полюсы функции (6.6) вычисляются по формуле



(6.11)

где параметр , а Arsh(x) – гиперболический ареа-синус (функ-ция, обратная гиперболическому синусу), вычисляемый по формуле



Полюсы фильтра лежат на эллипсе.

Алгоритм расчета фильтра Чебышёва I рода состоит в следующем:

1. Задание требования к допустимым отклонениям δ1 и δ2 АЧХ в полосах про-пускания и задерживания.

2. Вычисление параметра ε согласно (6.8) или (6.9).

3. Определение порядка n согласно (6.10).

4. Вычисление n полюсов с отрицательной вещественной частью, т. е. для , согласно (6.11).

5. Формирование из полученных n полюсов передаточной функции



(6.12)

Пример 6.6 Получить АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвертого порядка для условий примера 6.4.

Решение: Из примера 6.4 значение параметра ε равно 1. Из выражения (6.11) для n=4 и k=0, 1, 2 и 3 получены следующие значения полюсов:

р(0)= -0,085 + j0,964;

p(1)= -0,205 + j0,392;

p(2) = -0,205 – j0,392;

p(3) = -0,085 – j0,946.

В соответствии с (6.12)



После замены p = получается



Откуда АЧХ



Аналогичный результат получается при использовании выражения (6.7) для n=4.



откуда АЧХ



Фильтры Чебышёва II рода обладают монотонной АЧХ в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания (рис. 6.4). Вид АЧХ обратен виду АЧХ фильтра Чебышёва I рода. Фильтры Чебышёва II рода называют инверсными.

Рис. 6.4 Нормированная АЧХ фильтра Чебышёва II рода


Функция квадрата их АЧХ имеет вид

(6.13)

В соответствии с (6.13) передаточные функции фильтров Чебышёва II рода обладают и полюсами, и нулями.

Параметр ε2 (отвечающий за пульсации в полосе задерживания) определяется из соотношения

(6.14)

или


(6.15)

Пример 6.7 Вычислить параметр ε2 для заданных максимальных значений δ2 АЧХ в полосе задерживания 0,1; 0,01 и 0,001.

Решение: В соответствии с выражением (6.15) соответствующие значения параметра ε2 равны 0,101; 0,01 и 0,001.

Порядок фильтра определяется как наименьшее целое число, удовлетво-ряющее неравенству



(6.16)

Пример 6.8 Для условий примера 6.5 определить порядки фильтров Чебышёва II рода.

Решение: Затухание α равное -60, -40 и -20 дБ соответствуют значениям параметра δ2 - 0,001; 0,01 и 0,1, тогда в соответствии с примером 6.7 параметр ε2 равен 0,001;0,01 и 0,101. Для значений параметра и частоты Ωk=2 значения величины соответственно равны 4,866; 3,117 и 1,347. Таким образом, порядки фильтров должны быть 5, 4 и 2.

Нули инверсного фильтра рассчитываются по формуле



(6.17)

Алгоритм расчета фильтров Чебышёва II рода следующий. В соответствии с (6.11) рассчитываются полюсы фильтров Чебышёва I рода. По ним рассчитываются полюсы фильтров Чебышёва II рода в соответствии с выражениями



, (6.18)

, (6.19)

, (6.20)

где Re(.) и Im(.) – соответственно действительная и мнимая части комплекс-ного числа. Далее алгоритм расчета фильтров Чебышёва II рода аналогичен алгоритму расчета фильтров Чебышёва I рода, только вместо выражений (6.8), (6.9) и (6.10) используются (6.14), (6.15) и (6.16), а также идет расчет нулей в соответствии с (6.17). Передаточная функция с точностью до постоянного сомножителя формируется из нулей и полюсов с отрицательной вещественной частью



Инверсные фильтры сложнее в реализации, однако, в полосе пропускания они имеют АЧХ монотонную, как у фильтров Баттерворта, но их коэффици-ент прямоугольности выше, а ФЧХ часто бывает приемлемой.



Дробные фильтры Чебышёва имеют АЧХ с равноволновым изменением в полосах пропускания и задерживания (рис. 6.5).

Рис. 6.5 Нормированная АЧХ дробного фильтра Чебышёва


Дробный фильтр подлежит реализации при заданном расположении нулей АЧХ (т.е. всплесков затухания) в полосе задерживания на q частотах Ω1, Ω2,… Ωi,... Ωq. Это достигается заменой в (6.7) полинома Чебышёва Сn(Ω) на дробь Чебышёва Pn(Ω)

Число наибольших и наименьших значений в полосе пропускания равно n+1. Среди остальных фильтров дробные фильтры обладают наибольшим затуханием в полосе пропускания, а заданием частот Ωi можно обеспечить полное подавление помех.



6.3 Фильтры Золотарёва – Кауэра
Фильтры Золотарёва – Кауэра характеризуются равноволновой АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Их можно рассматривать как частный случай дробных фильтров Чебышёва II рода, когда на частоте Ωk АЧХ равна нулю. Фильтры Золотарёва – Кауэра среди всех фильтров порядка n при заданной неравномерности отклонения δ1 в полосе пропускания обла-дают минимально возможным значением максимального отклонения δ2(ω).

Фильтры Золотарёва – Кауэра при заданных n, δ1 и δ2 обладают наимень-шей переходной полосой и наибольшим коэффициентом прямоугольности. Эти фильтры обладают высокой избирательностью, но не отвечают требова-ниям о линейности ФЧХ в полосе пропускания.

Функция квадрата АЧХ фильтра Золотарёва – Кауэра порядка n опреде-ляется дробью Золотарёва:

где параметр ε определяется в соответствии с (6.8) или (6.9),

параметр k1 зависит от допустимых отклонений δ1 и δ2,

Un(ω,k1) – эллиптическая функцию Якоби.

Расчет фильтров Золотарёва – Кауэра производится с помощью табл. 6.1, где приведены коэффициенты разложения αi и βi входного сопротивления Zвх(Λ), как функции нормированного оператора Λ, в цепную дробь

Коэффициенты αi и βi соответствуют нормированным параметрам ФНЧ Золотарёва – Кауэра двумя способами: первым, когда в продольных ветвях размещаются параллельные контуры (α и β - четные) (рис. 6.6. а), а в попереч-ных – емкости (α – нечетные), и вторым, когда в продольных ветвях – индук-тивности (α – нечетные) (рис. 6.6. б), а в поперечных – последовательные контуры (α и β - четные).



а) б)


Рис. 6.6 ФНЧ Золотарёва – Кауэра седьмого порядко, реализованный первым (а) и вторым (б) способами