Российский государственный геологоразведочный - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Российский государственный геологоразведочный - страница №1/1

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и математического моделирования

Методическое пособие

для студентов

Темы:

1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

2. Двойные интегралы

Составители: Ваксман К.Г.

Робакидзе М.Г.

Москва,


2009 г.
Функции многих переменных
Определение. Величина u называется функцией n независимых переменных x,y,z…t (u=f(x,y,z…t)),если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины u.

Свойства функций многих переменных удобно изучать на примере функций двух переменных, так как при этом возможна геометрическая иллюстрация функций.



Определение. Величина z называется функцией переменных (аргументов) x и y (z=f(x,y)) на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество D называется областью определения функции. Это множество значений x и y,для которых формула z=f(x,y) имеет смысл.

Область D – это часть плоскости, ограниченная некоторыми линиями.

Графиком функции z непрерывных аргументов x и y обычно является некоторая поверхность.


I. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§1. Частные производные первого порядка
Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу другие аргументы считаются постоянными величинами.



(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Так как частная производная вычисляется в предположении, что изменяется только одна переменная, по которой производится дифференцирование, то применяем известные правила дифференцирования функции одной переменной.

(см.Приложения)

Примеры: 1) . ;

2) .Используем формулу .



.

§2.Частные производные второго порядка
Частные производные второго порядка находятся как частные производные от частных производных первого порядка.
; ; ; .
§3. Полное приращение и полный дифференциал
Полное приращение функции z=f(x,y) при переходе от точки к

точке есть:

Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции при приращении аргументов и , отличающаяся от полного приращения функции на бесконечно малую величину высшего порядка относительно и .

Пусть дана функция и точка . Полным дифференциалом в точке А при приращениях и будет . Геометрически полный дифференциал изображается приращением значения функции до касательной плоскости, проведенной к поверхности в точке .



Пример: Дана функция , точки и ,

.

Найти полный дифференциал в точке А при переходе из точки А в точку В.



Решение.

Найдём приращения аргументов ; . ; ; ;



; .

.

§4. Частные производные сложной функции
Определение. Если , где , а , то является сложной функцией от аргументов и .

.

4.1 Частные производные сложной функции вычисляются так:



;

;

Другая запись



; .

4.2 Полная производная . Если ,а все функции зависят только от : ,,(таким образом функция z зависит только от x), полная производная вычисляется так:



;
Пример.

а) найти .

Решение. ; ; Используем формулу .

б) найти , если .( z есть функция одной переменной x ).

Решение. .

в) найти , если .( z есть функция одной переменной t ).

Решение.

Замечание. Обратите внимания на обозначения: или , если z есть функция одной переменной, и , если z есть функция двух переменных.




§5.Частные производные неявной функции
Определение. Уравнение неявно определяет одну (или несколько)

однозначных функций z от x и y,если каждой паре x и y из некоторой области

соответствует одно (или несколько) значений z, при этом необходимо .

Частные производные неявной функции вычисляются так:



; .

Пример. .

Решение. ; ; ;

; .

§6. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

6.1 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид :



,где .

Нормаль к поверхности в точке –это прямая ,перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания .

Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид :

6.2 Если уравнение поверхности имеет вид ,то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке есть :



;

Уравнение нормали к поверхности в точке имеет вид :





Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке , где .

Решение.

; ; ; ; ..

Уравнение касательной плоскости в точке



или .

Уравнение нормали к поверхности в точке C:



7. Скалярное поле, градиент, производная по направлению
Задано скалярное поле в области D (т.е. задана функция во всех точках области D) и точка в области D.

7.1 Градиентом функции называется вектор ; где



– частные производные функции z по x и по y соответственно. Направление вектора градиента в точке – это направление наискорейшего возрастания поля в этой точке, а модуль вектора градиента – величина максимальной скорости возрастания. Модуль (длина) градиента вычисляется: . Направляющие косинусы градиента вычисляются: , , где и – углы вектора с осями х и у.

(Градиентом функции называется вектор ; где – частные производные функции u по x , по y и по ).



Пример : Дано поле . Найти в точке .

; ; : ;

(использовалась формула );



;

Вывод. Максимальная скорость возрастания поля в точке А равна 0,12.

7.2 Производная от функции в точке по направлению

вектора вычисляется по формуле , где – значения частных производных в точке А; – направляющие косинусы вектора :. Модуль вектора вычисляется:. Значение – это скорость изменения поля в направлении вектора ; если > 0, то поле возрастает, если < 0, то поле убывает.

(Производная от функции в точке по направлению

вектора вычисляется по формуле ,

где ;)

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению

вектора в точке .



; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.

Вывод. Поле в точке А в направлении вектора убывает со скоростью .




Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;



Задание2.Дана функция , точки и . Найти:

1) полный дифференциал функции в точке при переходе от точки к точке

2) составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке на поверхности, где .

1)

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;



Задание 3. Найти производные сложной функции.

1) , где , ;

2) , где , ;

3) , где , ; =?



Задание4. Найти частные производные неявной функции.

1) ;

2) ;

Задание 5. Даны: поле , точка и вектор . Найти:

1) и в точке А;

2) производную по направлению вектора в точке А.

1) .

2) .

3)

4) .

5) .

Ответы.
Задание2.
1. ; 4x+5y-z-7=0;

2. ; ;

3. ; ;

4. ; ;

5. ;

Задание3.

1. ; .

2. ; .

3. .


Задание4.

1. ; .

2. ;
Задание 5.

1. В точке А ; ;

2. В точке А ; ;
3. В точке А ; ;

4. В точке А ;

5. В точке А ; .

II. Двойной интеграл
§1. Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла для функции двух переменных является двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция



z =f (x,y).
Рис.1.1

Разобьём область D на n "элементарных областей" Di (i=1,2,3,,n) прямыми, параллельными осям координат (рис. 1.1).



Диаметром d элементарной области называется наибольшее расстояние между точками области.

Обозначим через Si и di соответственно площадь и диаметр "элементарной области" Di и в каждой области Di выберем произвольную точку (i=1,2,3,,n).

Составим сумму:

(1.1).

Сумма (1.1) называется интегральной суммой функции f(x,y) на области D.

Если существует конечный предел интегральной суммы (1.1) при n, таким образом, что maxdi0 (i=1,2,3,n) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается через .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством



(1.2.)

В этом случае функция f(x,y) называется интегрируемой функцией в области D, а область Dобластью интегрирования.


Теорема 1.1 (Достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области



§2. Основные свойства двойного интеграла
1. где

2.

3. Если область D разбить линией L на две области D1 и D2, такие что и , то

4. Если в области D имеет место неравенство , то,а если в этой области , то и


§3. Вычисления двойного интеграла в декартовых координатах
Область называется правильной (стандартной) по направлению оси Ох или Оу, если любая прямая, параллельная соответственно оси Ох или Оу и проходящая через любую внутреннюю точку области, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Пусть область D ограничена прямыми х=а, х=b и кривыми и , где и непрерывные функции и для всех (рис.3.1).

Область D является правильной по направлению оси Оу.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Тогда двойной интеграл от функции по области D в декартовых координатах вычисляется следующим образом:

(3.1)

Рассмотрим область D*, которая ограничена прямыми у=с и y=d и кривыми и , где функции и непрерывны и для любых (рис. 3.2).

Область D* является правильной по направлению оси Ох.

Тогда двойной интеграл от функции по области D* в декартовых координатах вычисляется так:



(3.2)

Правые части формул (3.1) и (3.2) называют двукратными или повторными интегралами от функции f(x,y) по области D или D* соответственно.

Если область D правильная как по направлению оси Ох, так и по направлению оси Оу, то двойной интеграл можно вычислить как по формуле (3.1), так и по формуле (3.2). Если область D не является правильной ни по направлению оси Ох, ни по направлению оси Оу, то для сведения двойного интеграла к повторным интегралам следует разбить область D на части, правильные в направлении оси Ох или Оу.

Внешние пределы интегрирования в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
§4. Геометрический и физический смысл

двойного интеграла
Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объёму цилиндрического тела, которое ограничено сверху одной поверхностью , снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, a направляющей служит граница области D (рис. 4. 1):

(4.1)
Рис. 4.1

Если положить в формуле (4.1) f(x,y)=1, то получаем формулу для вычисления площади S области D:



. (4.2)

Кривая называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль этой кривой.

Непрерывная кривая, составленная из конечного или счетного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.

Пусть z=f(x,y) - непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой области Dxy плоскости Oxy, ограниченной кусочно-гладким контуром, тогда площадь поверхности z=f(x,y) вычисляется по формуле:



(4.3)

Если поверхность задана уравнением , то



(4.4)

где Dyz – проекция данной поверхности на плоскость Oyz.

Аналогично, если поверхность задана уравнением то

(4.5)

где Dxz - проекция данной поверхности на плоскость Oxz.

Если материальная пластинка занимает область D плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность , то масса пластинки выражается двойным интегралом

. (4.6)

Статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам



, (4.7)

а координаты центра масс данной фигуры вычисляются по формулам



. (4.8)

Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам



(4.9)

а момент инерции относительно начала координат по формуле



. (4.10)

В случае однородной пластинки Полагая в этих формулах , получим формулы для вычисления геометрических моментов инерции плоской фигуры.
§5. Замена переменных в двойном интеграле.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяется метод переменных.

Введём новые переменные и так, что



(5.1)

Если функции (5.1) имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель



, (5.2)

а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:



(5.3)

Определитель (5.2) называется определителем Якоби (якобианом).

Рассмотрим частный случай замены декартовых координат х и у полярными координатами и

В качестве u и v возьмём полярные координаты и Они связаны с декартовыми координатами формулами



, (5.4)

где <.

Правые части в равенствах (5.4) - непрерывно дифференцируемые функции. Имеем

(5.5)

Формула замены переменных (5.3) принимает вид:



, (5.6)

где - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Если область ограничена лучами и , где , и кривыми и , где , то область правильная: луч выходящий из полюса пересекает границу области не более чем в двух точках (рис. 5.1). Тогда формула (5.6) принимает вид:

(5.7)

Если область D содержит начало координат (рис. 5.2), то



(5.8)


Рис. 5.1 Рис. 5.2

Если будем рассматривать частный случай замены декартовых координат х и у обобщёнными (эллиптическими) координатами и , связанные декартовыми координатами х и у формулами:



(5.9)

где , то после вычисления якобиана преобразования (5.9), получим и формула (5.3) примет вид



. (5.10)

Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2 + у2 ), область D есть круг, кольцо или часть таковых.

§6. Руководство к решению задач по двойным интегралам
Пример 6.1. Привести двойной интеграл к повторным интегралам двумя способами, если область интегрирования

Решение. Способ 1. Из условия следует, что область D ограничена прямыми 2у=х, у=2х, . Построив эти прямые, получим область D (рис. 6.1). Из рисунка видно, что она правильная относительно Оу, поэтому, применяя формулу (3.1), имеем


Способ 2. При сведении двойного интеграла к повторному по формуле (3.2) область D такова, что функция задана двумя аналитическими выражениями: для линии ОА и для линии АВ (рис. 6.1). В таком случае область D необходимо разбить на две области D1 и D2 с помощью прямой, проходящей через точку А параллельно оси Ох. Тогда, на основании третьего свойства двойного интеграла и с учётом значения ординат точек А и В, получаем



Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования, т.е. наметить, по какой переменной целесообразно производить внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее.

Пример 6.2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле


Решение. Из пределов интегрирования в повторном интеграле следует, что область интегрирования D двойного интеграла соответствующему повторному интегралу ограничена прямыми у=0 и у=1, линией и прямой х=-y. Линия представляет собой дугу окружности (х+1)2 +у2=1 с центром С(-1, 0) и радиусом, равным 1. Область интегрирования D (рис. 6.2) такова, что функция на отрезке [-2;0] задана двумя аналитическими выражениями: у=-х для линий ОB и для линии АВ, причем всякая прямая, параллельная оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает её границу в двух точках.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Следовательно, разбивая область интегрирования прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку В, абсцисса которой равна -1, на две области D1 и D2 , получаем

.

Пример 6.3. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования

Решение. Область интегрирования D ограничена параболами у=х2, у=2+х2 и прямыми х=0, (рис. 6.3). Так как каждая из функций и задана одним аналитическим выражением - соответственно и .

Имеем




Рис 6.3 Рис 6.4

Пример 6.4. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями

у2+2у-3х + 1 = 0 и Зх-Зу -7 = 0.

Решение. Из условия задачи следует, что область D ограничена прямой Зх - Зу - 7 = 0 и параболой у2 + 2у - Зх + 1 = 0 или (у + 1)2 = Зх с вершиной в точке М(0,-1). Решая систему уравнений

получаем две точки пересечения прямой и параболы: В(16/3, 3) и С(1/3,-2) (рис. 6.4.).

Из рис. 6.4 видно, что для вычисления площади области D рационально применять формулу (3.2). Следовательно, учитывая формулу (4.2) и то, что , находим искомую площадь:

Пример 6.5. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрической

поверхностью z=4 х2 и плоскостями у=0, у=3, z=0.

Решение. Построим данное тело (рис. 6.5, а). Его проекция на плоскость Oxy изображена на рис. 6.5, б.

а) б)


Рис. 6.5

Так как функция z=f(x,y)=4-х2 в области D неотрицательна, то, согласно геометрическому смыслу двойного интеграла, объем тела




Пример 6.6. Найти площадь части параболоида z= x2+y2, лежащей внутри цилиндра x2+y2=a2 (рис. 6.6)
Рис. 6.6

Решение. Так как частные производные zx=2x и zy=2y функции z(x,y)= x2+y2 непрерывны в замкнутом круге x2+y2a2, то площадь. рассматриваемой поверхности, согласно формуле (4.3) может быть представлена двойным интегралом

Исходя из вида функции и формы области интегрирования, используем полярные координаты:





Пример 6.7. Плотность распределения массы в каждой точке пластинки, занимающей на плоскости Оху область равна сумме координат точки. Требуется определить массу пластинки, статические моменты, координаты центра масс и моменты инерции.

Решение. Из условия следует, что в точках области D (рис. 6.8) плотность

Согласно физическому смыслу двойного интеграла(4.6), масса пластинки

Из рис. 6.7 следует, что для вычисления интеграла рационально воспользоваться формулой (3.1). Поэтому

Рис.6.7

Статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу находим по формулам:







Координаты центра масс пластинки вычисляем по формулам



Применив формулы (4.9) и (4.10) при вычислении моментов инерции пластинки относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат, получим:







;

.
Пример6.8. Вычислить для следующих областей интегрирования:

а) б) .



Решение. а) Область интегрирования D ограничена окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Следовательно, для вычисления интеграла удобно использовать обобщённые полярные координаты (формула (5.8)). Согласно формулам (5.4) уравнение данной окружности в полярных координатах принимает вид =1, поэтому

б) В данном случае область интегрирования D ограничена окружностями х2+у2=1 и х2+у2=4 (рис. 6.8), уравнения которых в полярной системе имеют вид =1 и =2. Поэтому, воспользовавшись формулой (5.7), получаем





Пример 6.9. Вычислить , если область D ограничена линиями

у=-х, , х22 =ах, х22=bx (b>a>0).

Решение. Область D (рис. 6.9) ограничена прямыми у=-х . Уравнения и задают окружности, так как их можно записать в виде и

Из рисунка видно, что для вычисления интеграла удобно воспользоваться формулой (5.7). Поэтому запишем в полярных координатах уравнения линий, составляющих границу области D.

Согласно формулам (5.4), уравнения окружностей х2+у2=ах, х2+у2=bx в полярных координатах принимают вид , а уравнения прямых и имеют вид и или и или и .

Рис. 6.8 Рис. 6.9

Следовательно,



Пример 6.10. Вычислить площадь области D, ограниченной кривой (x2+y2)2=2ax3 (a>0)

Решение. Из уравнения кривой следует, что область D расположена в правой полуплоскости, так как всегда , а следовательно, , т.е. , и что кривая симметрична относительно оси Ох (при замене у на -у уравнение не изменяется). Вследствие непрерывности функции (х2 + у2)2 = 2ax3 и симметричности кривой относительно оси Ох заключаем, что кривая замкнута (рис. 6.10). Запишем ее уравнение в полярных координатах. Использовав формулы (5.4), после упрощений получим . Следовательно, искомая площадь
Рис. 6.10 Рис.6.11

Пример 6.11. Вычислить , где область D ограничена эллипсами и (рис. 6.11).

Решение. Из аналитического выражения подынтегральной функции и уравнений границы области D следует, что для решения этой задачи удобно воспользоваться формулой (5.10). Положив получим

Запишем уравнения эллипсов, ограничивающих область D, в обобщенных полярных координатах:



;

.

Следовательно,



.
§7. Задачи для самостоятельного решения
7.1. Изобразить область D и сведите двойной интеграл к повторным двумя способами, если D ограничена линиями:

а) x+y=7; xy=6;

б) y= ;4-y= ;

в) =4-x; =x;

г) y=- ,x=0,x=1,y=1.

7.2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

a) б)

в) г)

7.3. Пусть заданы область D и функция f(x,y), определенная в этой области.

Изобразить область D и вычислите если:

а)

б)

в)

г)



7.4. Вычислить площадь заданных областей D, ограниченных линиями:

а)

б) ;

7.5. Вычислить объём цилиндрического тела, ограниченного поверхностями z = 4х2 + 2у2 +1, х + y - 3 = 0, х = 0, у=0, z=0.

7.6. Пусть заданы область D и функция f(x,y). Изобразить область D и вычислите в полярных координатах, если:

а) D : х2 +у2 6; f = (х2 + y2)arctg y/x;

б) D-криволинейный четырёхугольник, отсекаемый от кольца лучами и

в) D-кольцо: f = x2y2(x2+y2)-2;

г)

7.7. Вычислить площадь заданных областей D, ограниченных линиями:

a) ;

б)

в)



7.8. Найти площадь части конуса , заключенной внутри цилиндра x2+y2=ay.

7.9. Вычислить площадь поверхности цилиндра x2=2z, отсеченной плоскостями х-2 у=0, y=2x,

7.10. Вычислить площадь части поверхности параболоида x=1-y2-z2, вырезанной цилиндром y2+z2=1.

7.11. Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром х2 + у2=4х, параболоидом 2z = х2 + у2 и плоскостью z=0.

7.12 Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом х2 + у2- -az = 0, цилиндром (х2 + у2 )2=a2 и плоскостью z=0 (a>0).

7.13. Плоская пластинка имеет форму эллипса с полуосями а и b (a > b). В каждой точке её плотность равна расстоянию от этой точки до большой оси. Найти массу пластинки.

7.14. Определить координаты центра масс однородной пластинки ( =1), ограниченной окружностью х2 + у2=R2 и двумя лучами = 0 и = /3.

7.15. Определить центр масс однородной пластинки ( =1), ограниченной кардиоидой и - полярные координаты).

7.16. Вычислить момент инерции круга х2 + у2 относительно оси Ох ( =1).

Ответы

7.1. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;



7.2. а) ; б) ;

в) ; г) ;



7.3. а) б) ; в)150,4; г) ;

7.4. а) ; б) ;

7.5. ;

7.6. а) ; б) в) ; г) ;

7.7. а)S= ; б) ; в) 8;

7.8. ; 7.9. ; 7.10. ;

7.11. ; 7.12. ; 7.13. ;

7.14. ; 7.15. ; 7.16. ;


ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица основных производных
, – функции

с, а,p, const – постоянные числа,
1) ;

2)


3)
4)

5)
6)
7)


8)


9)

10)
11)
12)

Основные правила дифференцирования
1)
2)
3) (с число)
4)


Основные правила интегрирования:


  1. Дифференциал функции ; .

  2. .

  3. ( – число).

  4. Если , то .

  5. Если , а , то .

  6. Метод интегрирования по частям: если , , то .

  7. Правильность результатов интегрирования проверяется так: . Взятие неопределённого интеграла есть действие, обратное взятию производной.


Таблица основных неопределённых интегралов
– постоянные числа;

, если , то ;

  1. ; ; 1а. ;

  2. ; 2а. ;

  3. ; 3а. ;

  4. ;

  5. ; 5а. ;

  6. ; 6а. ;

  7. ;

  8. ; ;

  9. ;

  10. ; 10а. ;

  11. ; 11а. .

  12. ;

Формулы 1а, 2а, 3а, 5а, 6а, 10а, 11а получены по правилу 4.

Для взятия неопределённого интеграла, надо преобразовать подынтегральное выражение, воспользоваться правилами, чтобы привести его к табличным интегралам.


Определённый интеграл
1) Определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница

,

где – первообразная функции , т. е. .


2) Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Если конечный предел существует, то несобственный интеграл сходится и равен ему, иначе интеграл расходится.


.