Решение особого вопроса теории чисел Краткое введение Что такое математика? Математика содержит в себе - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Решение особого вопроса теории чисел Краткое введение Что такое математика? Математика - страница №1/1

Dear Mr.R.Daniel Mauldin !
ON NATURE REFLECTION :

BUT WHY ? !







A N S W E R


Search - русский Internet, Yandex,



http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html ;

subject : «Прогноз фундаментальных изменений в науке о физическом пространстве – Великое объединение гравитации и электромагнетизма. Часть вторая» ,

forms (69) – (70) .

Here we have :


Nucleon -
C O N S E Q U E N T L Y

Atom -


HERE :

if

It is the Enigma of Microcosmos

and

the Enigma of equation A.Beal .


В.С.Ярош


Решение особого вопроса


теории чисел

Краткое введение


«Что такое математика? Математика содержит в себе

черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения

и стремления к эстетическому совершенству. Её основные

и взаимно противоположные элементы – логика и интуиция,

анализ и конструкция, общность и конкретность… только

совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез

обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность

математической науки»

Richard Courant and Herbert Robbins.
Моё решение проблемы Conjecture Beal основано на единстве интуиции, логики и геометрической интерпретации этих свойств разума.

Геометрическая интерпретация – в соответствии с Принципом всеобщей (геометрической) ковариантности, который подробно описан на страницах:



http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html

http://yvsevolod-27.narod.ru/index.html

Формулы, которыми я пользуюсь, сконструированы мной в полном соответствии с упомянутыми выше полярными свойствами математической науки.


Курант и Роббинс полагают:

«Доказательство существования трансцендентных чисел

ещё до Кантора было дано Ж.Лиувиллем. Оно даёт возможность

на самом деле конструировать примеры таких чисел…Конструировать

пример, вообще говоря, сложнее, чем доказывать существование.»
Мои формулы, приведенные ниже, позволяют конструировать, как бесконечные множества чисел натуральных и рациональных, так и бесконечные множества чисел иррациональных.
Имея в виду изложенное, перейдём к рассмотрению проблемы.

Суть её состоит в следующем.


Сonjecture Beal не включает в себя вопрос о количестве троек целых чисел (А.В,С) , которые имеют общие множители и которые удовлетворяют уравнениям:

Вопрос о количествах троек (А,В,С) - это особый вопрос, решаемый вне Conjecture Beal.

Тем не менее я решаю этот вопрос на тот случай, если какой-то оппонент захочет поставить такой вопрос на пути признания моего доказательства справедливости Conjecture Beal.


Решение особого вопроса.
И решение Conjecture Beal , и решение особого вопроса берут своё начало в недрах бесконечного множества натуральных чисел.

Здесь, как известно, существует кажущееся противоречие, которое заключается в кажущейся несовместимости двух утверждений теории чисел:



  1. Количество рациональных чисел (рациональных точек) всюду плотно на прямой.

  2. Количество чисел иррациональных также всюду плотно на прямой.

Мой алгоритм :


(А)
и мои формулы







в которых :




примитивные тройки Пифагора, строящиеся из любой пары натуральных чисел различной чётности:


(14)
ДЕМОНСТРИРУЮТ ПРОЦЕСС ПРЕВРАЩЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЧИСЛА РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

Тройки иррациональных чисел , построенные из чисел натуральных и рациональных, формируют бесконечные множества решений базисных уравнений :



а тройки :

где S любой множитель


составляют бесконечные множества решений любого уравнения:

Всё это многообразие чисел можно представить в виде геометрической модели.

Внутри такой модели пролегает прямая, плотно заселённая натуральными и рациональными числами.

Прямая находится внутри трубки, тело которой плотно заселено числами иррациональными.

Между прямой и трубкой пролегают нити прямых и обратных связей.



Фиг. 1


Аналогичную картину прямых и обратных связей мы наблюдаем и между бесконечным множеством уравнений, формируемых алгоритмом (А), и множеством уравнений типа :

которые не имеют общих множителей.
Каждое из упомянутых множеств взаимосвязанных чисел образует свою собственную трубку, внутри которой пролегает прямая натуральных и рациональных чисел.

Между описанными здесь трубками числовых и геометрических многообразий существует сеть прямых и обратных связей.


Алгоритм конструирования сети этих связей известен только мне.
Я его опубликую после того, как Andrew Beal выплатит мне обещанный им приз за решение Conjecture Beal.

Решение Conjecture Beal принадлежит мне.

Вся его сущность заключена в простейшей конструкции алгоритма (А) .

Более подробную информацию об этом алгоритме читатель найдёт на сайте:



http://Conject.narod.ru/index.html
В заключение я хочу обратить внимание читателей на следующее очень важное обстоятельство :
ВСЕ ИСТИННЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРЕДЕЛЬНО ПРОСТЫ И ЛАКОНИЧНЫ.
Конструкция моего фундаментального алгоритма (А) предельно проста и лаконична:
(А)
Эта конструкция генерирует бесконечное множество уравнений, подтверждающих справедливость Conjecture Beal.

Разве можно сравнить эту конструкцию с конструкциями эллиптических кривых A.Wiles ?

Или с конструкцией программы Peter Norvig , копию которой для наглядности я прилагаю :

Beal's Conjecture: A Search for Counterexamples


Beal's Conjecture is this:

There are no positive integers x,m,y,n,z,r satisfying the equation

xm + yn = zr

where m,n,r > 2 and x,y,z are co-prime (that is, gcd(x,y) = gcd(y,z) = gcd(x,z) = 1).



There is a $75,000 prize for the first proof or disproof of the conjecture. The conjecture is obviously related to Fermat's Last Theorem, which was proved true by Andrew Wiles in 1994. A wide array of sophisticated mathematical techniques could be used in the attempt to prove the conjecture true (and the majority of mathematicians competent to judge seem to believe that it likely is true).

Less sophisticated mathematics and computer programming can be used to try to prove the conjecture false by finding a counterexample. This page documents my progress in this direction.

There are two things that make this non-trivial. First, we quickly get beyond the range of 32 or 64 bit integers, so any program will need a way of dealing with arbitrary precision integers. Second, we need to search a very large space: there are six variables, and the only constraint on them is that the sum must add up.

Suppose we wanted to search, all bases (x,y,z) up to 100,000 and all powers (m,n,r) up to 10. Then the first problem is that we will be manipulating integers up to 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (that is, 1050). And we will be dealing with 1,000,000,000,000,000,000 (that is, 1018) potential combinations of integers.

The "large integer" problem requires either a language that supports such integers directly, such as Lisp or Python, or a package that adds the functionality, such as the NTL package for C++.

The "many combinations" problems requires a clever search algorithm. As a start, we can cut the space in half (without loss of solutions) by only considering combinations with x less than or equal to y. This helps a little, getting us down to 0.5 * 1018 combinations. The next step is to eliminate the need to consider combinations of z, r. The idea is that we can precompute all zr combinations and store them in a hash table. Then when we get a xm + yn sum, we just look it up in the table, rather than enumerating all z, r pairs. This gets us down to 0.5 * 1012 combinations, at the cost of having to store 106 large integers. Both storage and projected computation times are now within range of what I can expect to handle on my home PC.

Now its time to implement the program. I chose Python as the implementation language because it happened to already be installed on the machine I had (I also had Lisp installed, but it was an evaluation copy that was limited in the amount of memory allowed, so I couldn't use it for this problem). Python is the slowest of the choices in terms of execution speed, but it allowed me to program a solution in only a few hours.

The Python program is very straightforward: enumerate all x,y,m,n combinations, and for each one check if the sum of the exponents is in the table. Initial testing on small search spaces was rewarding: it took only 3.3 minutes to verify that there are no solutions with x,y,m,n less than 100. I was then ready to scale up, but first I made some very minor improvements to the algorithm: instead of looking up the sum in the table with table.get(x**m + y**n), I moved each part of the calculation out of as many loops as possible, and pre-computed as much as possible. In other words, I changed from the original:



def beal(max_base, max_power):

bases, powers, table = initial_data(max_base, max_power)

for x in bases:

for y in bases:

if y > x or gcd(x,y) > 1: continue

for m in powers:

for n in powers:

sum = x**m + y**n

r = table.get(sum)

if r: report(x, m, y, n, nth_root(sum, r), r)



to the optimized version running about 2.8 times faster:

def beal(max_base, max_power):

bases, powers, table, pow = initial_data(max_base, max_power)

for x in bases:

powx = pow[x]

for y in bases:

if y > x or gcd(x,y) > 1: continue

powy = pow[y]

for m in powers:

xm = powx[m]

for n in powers:

sum = xm + powy[n]

r = table.get(sum)

if r: report(x, m, y, n, nth_root(sum, r), r)

Results


Alas, I have found no counterexamples yet. But I can tell you some places where you shouldn't look for them (unless you think there's an error in my program). Running my program on a 400 MHz PC using Python 1.5 I found that:

beal( 100, 100) took 3.3 mins ( 9K elements in table)

beal( 100,1000) took 19.3 hours ( 92K elements in table)

beal( 1000, 100) took 6.2 hours ( 95K elements in table)

beal( 10000, 30) took 52 hours ( 278K elements in table)

beal( 10000, 100) took 933 hours ( 974K elements in table)

beal( 50000, 10) took 109 hours ( 399K elements in table)

beal(100000, 10) took 445 hours ( 798K elements in table)

beal(250000, 7) took 1323 hours (1249K elements in table)

To put it another way, in the following table a red cell indicates there is no solution involving a bp for any value of b and p less than or equal to the given number. A yellow cell with a "?" means we don't know yet. Run times are given within some cells in minutes (m), hours (h) or days (d).



 

p=7

p=10

p=30

p=100

p=1000

b=100

-

-

-

3m

19h

b=1,000

-

-

-

6h

?

b=10,000

-

-

2d

39d

?

b=100,000

-

18d

?

?

?

b=250,000

55d

?

?

?

?

How do we know the program is correct? We don't for sure, but removing "or gcd(x,y) > 1" prints some non-co-prime solutions that can be verified by hand, suggesting that we're doing something right.
Комбинаторика этой программы бессмысленна.

Бессмысленность программы состоит в том, что её автор произвольно берёт числа из тела трубок числовых комбинаций.

Я имею в виду числовые трубки, изображённые выше на Фиг.1.

Можно брать бесконечное множество числовых комбинаций из этих трубок, строить статистические таблицы и никогда не найти закономерность, связывающую такие комбинации в простую конструкцию (А).


ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПЬЕРА ФЕРМА

ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ , ИЗ КОТОРЫХ

СЛЕДУЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО

НЕЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ



Краткое введение

Вниманию читателей предлагается геометрический вывод формул для вычисления бесконечных множеств как нецелочисленных, так и целочисленных решений Последней теоремы Пьера Ферма, которые имеют прямые и обратные связи с решениями уравнений Conjecture Beal.

С этими формулами читатель может познакомиться на моём персональном сайте http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html

На этом же сайте читатель найдёт геометрический вывод упомянутых формул.

Мои вычислимые формулы позволили установить ранее неизвестный математический феномен:

Уравнение :



(1)

есть свёртка бесконечного множества самостоятельных уравнений, которые имеют в качестве единого базиса уравнение Пифагора :



(2)

При этом, каждое самостоятельное уравнение, имеющее собственный показатель степени , имеет два уровня собственных решений :

Первичный и вторичный.

Первичный уровень образует бесконечное множество целочисленных решений.

Вторичный уровень образует бесконечное множество нецелочисленных решений.

На основе этого математического феномена автор обнаружил и доказал ложность следующего утверждения:


Если Последняя теорема Ферма доказана для случая , то тем самым она доказана для всего множества чётных показателей степени .
С доказательством ложности этого утверждения читатель может познакомиться на упомянутом выше моём персональном сайте.

Впервые это доказательство было опубликовано в 1995 году Тульским государственным университетом в сборнике научных трудов «Алгоритмы и структуры систем обработки информации», на стр.130-137, в статье В.С.Яроша «О некотором ошибочном утверждении в теории чисел».


Геометрическое доказательство теоремы Ферма, увязанное с аналитическим, читатель может найти на страницах моей книги «Финал многовековой загадки Диофанта и Ферма», изданной на русском и английском языках в Москве, издательством «Инженер», в 1993 году.
Все мои доказательства соответствуют теореме Гёделя о неполноте, ибо они заканчиваются вычислимыми формулами доказуемого.

При этом все они соответствуют фундаментальному Принципу всеобщей (геометрической) ковариантности.

См. при этом сайты :

http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html ;

http://yvsevolod-27.narod.ru/index.html ;

ВЫВОД УНИВЕРСАЛЬНЫХ ФОРМУЛ


ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

РЕШЕНИЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА


Известно, что алгебраическому уравнению Пифагора ставится в соответствие геометрическая интерпретация , см. Фиг.1.

Фиг. 1
Если стороны треугольника :



(3)

подчиняются уравнению Пифагора:



(4)

то площади квадратов, построенных на этих сторонах, равны соответственно:



(5)

(6)

(7)
СЛЕДОВАТЕЛЬНО , ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ, ПОСТРОЕННЫЕ НА ИХ СТОРОНАХ, ФУНКЦИОНАЛЬНО СВЯЗАНЫ МЕЖДУ СОБОЙ.
Дальше поступим следующим образом. Умножим уравнение (4) на общий множитель:

(8)

В результате получим:


(9)
Обозначим члены уравнения (9) следующими символами:
(10)

(11)

(12)
Из полученных равенств найдём определения сторон трёх геометрических квадратов:
(13)

(14)

(15)
Аналогичным способом, умножая уравнение (4) на общий множитель:
(16)
находим математические модели сторон ещё трех геометрических квадратов:
(17)

(18)

(19)
А затем, воспользовавшись общим множителем:
(20)
строим математические модели сторон

ещё трёх геометрических квадратов:


(21)

(22)

(23)
Располагая математическими моделями сторон геометрических квадратов, мы можем построить математические модели среднеарифметических значений
ОДНОИМЁННЫХ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ:
(24)

(25)

(26)

Обратим внимание читателя на следующее важное обстоятельство :


В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ (24) – (26) ИСПОЛЬЗОВАН ОБЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ,
КОТОРЫЙ ИМЕЕТ СМЫСЛ
ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

ИНВАРИАНТА.
Введём простое обозначение этого инварианта:
(27)
Согласно (3), тройка чисел присвоена трём сторонам прямоугольного треугольника, которому ставится в соответствие уравнение Пифагора , см. (4).
Обратим внимание читателя на следующий факт:
В ДАННОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ МЫ НАБЛЮДАЕМ КОНКРЕТНОЕ ПРОЯВЛЕНИЕ

ПРИНЦИПА ВСЕОБЩЕЙ (ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ) КОВАРИАНТНОСТИ ПИФАГОРА.

Более подробную информацию об этом Принципе читатель найдёт на сайтах:

http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html ;

и

http://yvsevolod-27.narod.ru/index.html ;


C учётом определения (27), инвариантные формы (24) – (26) принимают простейшее выражение:


(28)

(29)

(30)

При этом определяются осреднённые значения сторон квадратов Диофанта-Пифагора,

эквивалентные

осреднённым значениям сторон прямоугольных треугольников Диофанта-Пифагора:


(31)

(32)

(33)
Располагая формой (27), легко заметить, что при показателе степени тройка чисел вырождается в тройку чисел .
Подведём промежуточный итог нашим достаточно простым выкладкам.
Мы с Вами, уважаемый читатель, получили универсальные формулы (31) – (33) для вычисления примитивных корней простейшего уравнения Ферма-Диофанта:
(34)
которое при показателе степени вырождается в простейшее уравнение Пифагора :
(35)
состоящее из примитивных троек Пифагора , вычисляемых с помощью известных формул теории чисел:
(36)

(37)

(38)
Здесь:
(39)
любая пара натуральных чисел различной чётности.

Умножая тройки чисел на любое натуральное число (40)

мы получаем бесконечное множество решений:
(41)

ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ :


(42)
положенного в основу Великой или Последней теоремы Ферма.
Таков промежуточный итог наших математических построений.
А теперь постараемся ответить на вопрос:

Почему решения (31) – (33) не могут быть целочисленными ?

Внимательный анализ форм (31) – (33) даёт нам непротиворечивый ответ на поставленный вопрос.


Ответ базируется на «Основной теореме арифметики» :
Каждое натуральное число, см.(40), большее единицы, может быть разложено на простые множители только

ОДНИМ СПОСОБОМ.


Простыми числами называются такие натуральные числа, большие единицы, которые не имеют иных множителей, кроме единицы и самих себя.

Два первых простых числа:


(43)

(44)
согласно определениям (36) – (38)

образуют первую примитивную тройку Пифагора:


(45)

(46)

(47)
число в которой выполняет роль общего делителя , см.(27), в математических моделях (31) – (33) и (41).
Согласно определениям (36) – (38) и (45) – (47), инвариант (27) не может быть равным единице и целым числом.
В Ы В О Д
Любое число, вычисленное с помощью универсальных формул (31) – (33), при показателях степени , больших числа 2, не может быть целым, ибо произведение квадрата целого числа на число нецелое, не может быть разложено на произведение ряда целых одинаковых сомножителей, каждый из которых определяется формами (31) – (32).
К этому же выводу можно прийти и другим, более наглядным путём, см. при этом Рис.2.















Рис.2


На этом рисунке мы видим два геометрических многообразия:


-Красный квадрат, площадь которого
(48)
-Чёрный прямоугольный треугольник, площадь которого
(49)

Мы имеем основание утверждать:

СТОРОНЫ КВАДРАТОВ ДИОФАНТА,

ПЛОЩАДИ КОТОРЫХ РАВНОВЕЛИКИ ПЛОЩАДЯМ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДИОФАНТА,

ВСЕГДА ВЫРАЖАЮТСЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Это утверждение равносильно Выводу, полученному выше.

В этом легко убедиться, воспользовавшись формулами (28),(31),(48) и (49).

Эти формулы позволяют составить систему равенств:

(50)
в которых определяющую роль играет инвариантная форма и её свойства, вытекающие из Основной теоремы арифметики, сформулированной выше. Эта форма описана выше, см.(28) и (27).
Обратим внимание читателей на то, что мы провели анализ только одной инвариантной формы (24).

Анализ форм (25) и (26) аналогичен.

Обратим внимание читателей ещё на одно важное обстоятельство:

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛСТВО ПОСЛЕДНЕЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ЗНАЧИТЕЛЬНО ПРОЩЕ.

ОНО ЗАНИМАЕТ ВСЕГО ТРИ СТРАНИЦЫ МАШИНОПИСНОГО ТЕКСТА. С ЭТИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ ЧИТАТЕЛЬ МОЖЕТ ПОЗНАКОМИТЬСЯ НА САЙТЕ:

http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html

А МЫ ПРОДОЛЖИМ НАШ ПУТЬ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ПОСЛЕДНЕЙ ТЕОРЕМЫ ПЬЕРА ФЕРМА.


Этот путь относительно прост и короток.
Он базируется на описанных выше

ВЫЧИСЛИМЫХ ФОРМУЛАХ.
Суть его в следующем.
Величины, вычисляемые с помощью формул (36) – (38), являются АРГУМЕНТАМИ функций,

вычисляемых с помощью формул (31) – (33).

Следовательно,
ПОСДЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ, РОЛЬ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЯЮТ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ АРГУМЕНТЫ, ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ (36) – (38).
ФУНКЦИЯМИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ АРГУМЕНТОВ ЯВЛЯЮТСЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЛИ ДРОБНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТНЫХ ФОРМУЛ (31) – (33) .

О Б Щ Е Е З А К Л Ю Ч Е Н И Е

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПЬЕРА ФЕРМА ИМЕЕТ ДВА ЧИСЛОВЫХ УРОВНЯ РЕШЕНИЙ.

НА ПЕРВИЧНОМ УРОВНЕ РАСПОЛАГАЕТСЯ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ, КОТОРЫЕ ИМЕЮТ ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ СВЯЗИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ CJNJECTURE BEAL.

НА ВТОРИЧНОМ – БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО НЕЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ.


ЧТОБЫ УБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО ДРУГИХ РЕШЕНИЙ НЕ СУЩЕСТВУЕТ, Я РЕКОМЕНДУЮ ЧИТАТЕЛЯМ ПОЗНАКОМИТЬСЯ С СЫЛКОЙ :

«Это-копия моего Персонального сайта…»

на моём Специализированном сайте №1 :

http://yvsevolod-27.narod.ru/index.html ;

MILLENIUM PRIZE PROBLEMS

The Gordan problem and the Fermat problem as

United problem and single whole .
While following the way suggested by D.Hilbert, I also managet to solve the Fermat problem up to the end.
What surprises me here is a strict analogy both in the methodology and formulation of the proposed problem. Let me repeat once again this wonderful analogy.
D.Hilbert reduced the Gordan problem to the following question the formulation of which indicated the way of solving the problem:
«Preset is the infinite system of formas from the finite number of variables.»

In our case - this is infinitely multitude of system equations:







(1)

………………..



each of which is realized at a concrete exponent power .

The number of the generalized variables is finite:



(2)

Further on, Hilbert*s question is verbalized as follows:


«At which conditions exists the finite system of the forms through, which all others are expressed as the linear combinations are the integral rational functions of the same variables?»
In our case, use is made of three forms:
(3)
based on the Pythagor equation:
(4)
The integral rational functions of the variables appeared to be the proportionality coefficients:
(5)
Here:
(6)
is the primitive Pythagorean triplets, if

(7)

the numbers of various evenness taken from endless series of natural numbers.


Further on, let*s add term by term the obtained equations (3) and arithmetically average these sums. As a result, we will obtain one combined equation:
(8)

Here:


(9)

rational multiplyer – invariant.

R E S U L T

EQUATION (8) IS EQUIVALENT OF SYSTEM EQUATYONS (1),

If:

(10)

is basis equation and if:



(11)
Consequently, I was given a possibility of conducting analytical investigation of a wonderful process of conversion of any concrete Pythagorean triplet of integrals into an endless multitude of primitive Diophantines triplets, as irrational roots equation (10) :
(12)

So, we have universal forms for irrational roots :



(13)

for all equations:


(14)
It is solution of Last theorem P.Fermat.