Основы логики и логические основы компьютера - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Основы логики и логические основы компьютера - страница №2/4

Тема: Алгебра высказываний



Цели урока:

Учебная: проверить знания и умения по пройденным темам;

формирование знаний о высказываниях, типах высказываний.



Развивающая: развитие мышления, словарного запаса; умений анализировать, выделять главное, сравнивать; стимулирование интереса учащихся к данной теме.

Воспитательная: воспитание ответственности, добросовестности, требования к себе, взаимоуважения.
Ход урока.

Проверочная работа.

Вариант 1.

  1. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10. Кроме того, известно, что 8 учеников не посещают никаких кружков, 8 человек – и математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 – и физический и химический. Сколько человек посещают все три кружка?

  2. Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?

  3. Есть пять коробочек - белая, черная, красная, синяя и зеленая. В каждой из коробочек по два шарика одного из цветов (два белых, два черных, два красных, два синих и два зеленых), причем выдвинуты следующие предположения:

  1. ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

  2. в красной коробочке нет синих шариков;

  3. в черной коробочке лежат по одному шарику каждого из холодных (зеленых или синих) тонов;

  4. в коробочке нейтрального (белого или черного) цвета лежат один красный и один зеленый шарик;

  5. в синей коробочке находится один черный шарик;

  6. в одной из коробочек лежат один белый и один синий шарик.

  1. Определить, какие шарики лежат в какой коробке.

Вариант 2.

  1. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 38 учеников класса двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в цирке – 17; и в кино, и в театре – 6; и в кино, и в цирке – 10; и в театре, и в цирке – 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

  2. Встретились три подруги - Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье сказала Черновой: «Нам троим надо поменяться платьями, а то цвета наших платьев не соответствуют нашим фамилиям». Кто в каком платье был?

  3. - Мои четыре внучки - замечательные девочки, - рассказывала бабушка Палагея с нескрываемой гордостью. - Каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных языков.

- На чем играет Маша? - спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.

Поговорив с бабушкой, я также узнал, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Я совсем запутался.

Скажите мне, кто на каком инструменте играет и на каком языке говорит.



Вариант 3.

  1. Из 57 школьников 28 собирают значки, 22 собирают марки, 30 собирают открытки; 10 – и значки, и марки, 8 – и марки, и открытки; 13 – и значки, и открытки; 3 человека не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников собирает и марки, и значки, и открытки?

  2. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие места они заняли, они ответили:

  1. Коля не занял ни первое, ни четвертое места.

  2. Боря занял второе место.

  3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

  1. Три дочери писательницы Дорис Кей – Джуди, Айрис и Линда – тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств – пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

  • Джуди живет не в Париже, а Линда – не в Риме;

  • парижанка не снимается в кино;

  • та, кто живет в Риме, певица;

  • Линда равнодушна к балету.

Где живет каждая девочка и какова ее профессия?

Ответ:

Вариант 1.

  1. 2 человека.

  2. Круг – дом с окном; квадрат – дом с окном и трубой.

  3. Белая коробочка – красный и зеленый шарик, черная – синий и зеленый, красная – белый и черный, синяя – черный и красный, зеленая – белый и синий.

Вариант 2.

  1. 3 человека.

  2. Белова была в черном платье; Краснова – в белом; Чернова – в красном.

  3. Маша – рояль, английский; Оля – виолончель, немецкий; Лена – скрипка, французский; Валя – арфа, итальянский.

Вариант 3.

  1. 5 человек.

  2. Коля – 3 место, Боря – 2 место, Вова – 1 место, Юра – 4 место.

  3. Джуди – пение, Рим; Айрис – балет, Париж; Линда – кино, Чикаго.


Объяснение нового материала.

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII в. немецкий логик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений. Но идея Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор не найден способ свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Подлинный прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIX в. Прежде всего благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логический операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики, так и вне ее.



Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.



Высказывание это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например: Х = Число 12345 кратно 3.

Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А - истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А - ложно».

Истинность или ложность высказывания не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.



Например: Сегодня я пойду в театр.

Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).



Например: Он сделает уроки, и мы пойдем гулять.

Этим летом мы либо поедем к морю, либо поедем в Москву.

Если я буду хорошо учиться, то мне купят плейер.

Неверно, что Париж – столица Испании.

Я получу хорошую оценку тогда и только тогда, когда выучу весь материал.

Существуют кошки с белыми лапками.


Высказывания бывают общими, частными и ли единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Пример: Какие из приведенных высказываний являются общими или частными?



  • Не все книги содержат полезную информацию (частное).

  • Кошка является домашним животным (единичное).

  • Все солдаты храбрые (общее).


Закрепление пройденного материала.

1. Какие из предложений являются высказываниями? Определить их тип и истинность.



  • Число 6 – четное (истина, единичное)

  • Посмотрите на доску (не высказывание)

  • Все роботы являются машинами (истина, общее)

  • У каждой лошади есть хвост (истина, общее)

  • Внимание! (не высказывание)

  • Кто отсутствует? (не высказывание)

  • Есть кошки, которые дружат с собаками (истина, частное)

  • Не все то золото, что блестит (истина, частное)

  • Некоторые люди являются художниками (истина, частное)

  • Выразите 1 час 15 минут в минутах (не высказывание)

  • Всякий моряк умеет плавать (ложь, общее)

  • Чему равно расстояние от Земли до Марса? (не высказывание)

  • Внимание! Посмотрите направо.(не высказывание)

  • Не нарушайте правил дорожного движения! (не высказывание)

  • Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы. (истина, единичное)

2. Определите истинность и тип высказываний:



  • Все ребята умеют плавать.

  • Киев – столица Украины.

  • Некоторые кошки не любят рыбу.

  • Человек все может.

  • Невозможно создать вечный двигатель.

  • Каждый человек – художник.

  • Прямоугольник есть геометрическая фигура.

  • Некоторые рыбы – хищники.

Домашнее задание.

Определите истинность и тип высказываний:



  • Ни один внимательный человек не совершит оплошность.

  • Некоторые ученики двоечники.

  • Все ананасы приятны на вкус.

  • Мой кот страшный забияка.

  • Любой неразумный человек ходит на руках.

  • Некоторые мои друзья собирают марки.

  • Все лекарства приятны на вкус.

  • А – первая буква в алфавите.

  • Некоторые медведи – бурые.

  • Тигр – хищное животное.

  • У некоторых змей нет ядовитых зубов.

  • Многие растения обладают целебными свойствами.

  • Все металлы проводят тепло.

Всегда ли можно определить истинность высказывания?

Тема: Логические операции


Цели урока:

Учебная: формирование умений применять основные логические операции.

Развивающая: развитие памяти, внимания, логического мышления.

Воспитательная: воспитание требовательности к себе, аккуратности, желания достичь наивысших результатов.
Ход урока.

Проверка домашнего задания. Анализ проверочной работы.

Повторение пройденного материала и актуализация опорных знаний.

1. Дайте характеристику каждому предложению по следующему плану:



  1. Установите, является ли данное предложение высказыванием.

  2. Определите, истинное это или ложное высказывание.

  3. Определите тип высказывания.

  4. Ответьте, простое это или сложное высказывание.

  • Число 8456 является простым (делится только на 1 и само себя).

  • Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

  • Как хорошо быть генералом!

  • Революция может быть мирной и немирной.

  • Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.

  • Познай самого себя.

  • Не может быть, что ни один человек не дышит жабрами.

  • Талант всегда пробьет себе дорогу.

  • Некоторые животные мыслят.

  • Информатика, в частности, изучает алгоритмы.

  • Всякая истина является конкретной.

  • Это утверждение ложно.


Объяснение нового материала.
Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных языков, но и с помощью формальных языков. Например, высказывание на естественном языке имеет вид «Два умножить на два равно четырем», а на формальном, математическом языке, оно записывается в виде «2х2 = 4».

Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и т. д.

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

Из простых высказываний можно получить сложное высказывание, объединив их с помощью логических связок. Логические связки - это слова, которые подразумевают определенные логические связи между высказываниями.

Для связок введена специальная терминология: (опорный конспект)


Логические связки и кванторы

Название логических связок и кванторов

Математическое обозначение

«и»; «а»; «но»; «хотя»; «который»; «зато»

Конъюнкция

; ; 

«или»

Дизъюнкция



«либо…либо»

Строгая дизъюнкция



«Если …, то»

Импликация

; 

«Наверно, что», «не»

Отрицание

; ; 

«необходимо», «достаточно», «тогда и только тогда»

Эквиваленция

; ; 

«Все; всякий; каждый»

Квантор общности



«Некоторые», «существуют»

Квантор существования



Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.


Логическое отрицание.

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что».

Например: «Машина не роскошь», «Неверно, что все люди умеют водить автомобиль».

Пример: У меня есть компьютер. – высказывание.

Пусть у вас его нет, тогда это высказывание ложно. «Неверно, что у меня есть компьютер» или «У меня нет компьютера». Обозначение инверсии: НЕ А. Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму . Определяется она по специальной таблице истинности.


А



1

0

0

1
Таблица истинности:


Смысл высказывания А для указанных значений

Значение высказывания: У меня нет компьютера

У меня нет компьютера

Истина

У меня есть компьютер

Ложь

Пояснение:


Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции инверсии.

Логики при образовании инверсии предпочитают иметь дело с оборотом речи «неверно, что», поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания.


Логическое умножение (конъюнкция).

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказывание в одно с помощью союза «и».

Приведем пример конъюнкции.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А – На автостоянке стоит «Мерседес».

В – На автостоянке стоят «Жигули».

(А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

Обозначение конъюнкции: А и В; АВ; А$В; АВ.

Таблица истинности: Пояснения:




А

В

А&В

0

0

0


0

1

0


1

0

0


1

1

1


Смысл высказываний

А и В для указанных значений



Значение высказывания:

На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».



«Мерседес» не стоит

«Жигули» не стоят

Ложь

«Мерседес» не стоит

«Жигули» стоят

Ложь

«Мерседес» стоит

«Жигули» не стоят

Ложь

«Мерседес» стоит

«Жигули» стоят

Истина

Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.



Логическое сложение (дизъюнкция).

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

Союз «или» может быть использован в объединительном или разделительном смысле. Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай» союз «или» взят в объединительном смысле, так как можно или только смотреть телевизор, или только пить чай, или смотря телевизор пить чай. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией.

В высказывании «Данный глагол I или (либо) II спряжения» союз «или» используется в разделительном смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.

Примеры строгой и нестрогой дизъюнкций:


  • Петя сидит на западной или восточной стороне стадиона (строгая).

  • Студент едет в электричке или читает книгу (нестрогая).

  • Оля любит писать сочинения или решать логические задачи (нестрогая).

  • Завтра дождь будет или не будет (строгая).

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; А В; А | В.

Под дизъюнкцией понимают нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.

А (дизъюнкция) В = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

Таблица истинности: Пояснения:




А

В

А В

0

0

0


0

1

1


1

0

1


1

1

1


Смысл высказываний

А и В для указанных значений



Значение высказывания:

На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».



«Мерседес» не стоит

«Жигули» не стоят

Ложь

«Мерседес» не стоит

«Жигули» стоят

Истина

«Мерседес» стоит

«Жигули» не стоят

Истина

«Мерседес» стоит

«Жигули» стоят

Истина

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции.

Обозначение строгой дизъюнкции: А ЛИБО В; А В.

А (строгая дизъюнкция) В = На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули».

Таблица истинности: Пояснения:




А

В

А В

0

0

0


0

1

1


1

0

1


1

1

0


Смысл высказываний

А и В для указанных значений



Значение высказывания:

На автостоянке стоят «Мерседес» либо «Жигули».



«Мерседес» не стоит

«Жигули» не стоят

Ложь

«Мерседес» не стоит

«Жигули» стоят

Истина

«Мерседес» стоит

«Жигули» не стоят

Истина

«Мерседес» стоит

«Жигули» стоят

Ложь

Из таблицы истинности следует, что строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны.


Логическое следование (импликация).

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если . . ., то . . .».

Например: Если число делится на 9, то оно делится на 3.

Обозначение импликации: АВ; АВ.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь.

В = Асфальт мокрый

Таблица истинности: Пояснения:




А

В

АВ

0

0

1


0

1

1


1

0

0


1

1

1


Смысл высказываний

А и В для указанных значений



Значение высказывания:

«Если на улице дождь, то асфальт мокрый»



Дождя нет

Асфальт сухой

Истина

Дождя нет

Асфальт мокрый

Истина

Дождь идет

Асфальт сухой

Ложь

Дождь идет

Асфальт мокрый

Истина

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.



Логическое равенство (эквиваленция).

Логическое равенство (эквиваленция) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «. . . тогда и только тогда, когда. . .».

Примеры эквиваленции:


  • Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90.

  • Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

  • Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает.

Обозначение эквивалентности: АВ; АВ; АВ; А ~ В.

Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно 3).

В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

АВ = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

Таблица истинности: Пояснения:




А

В

АВ

0

0

1


0

1

0


1

0

0


1

1

1


Смысл высказываний

А и В для указанных значений



Значение высказывания:

«Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3».



Число не кратно трем

Сумма цифр не кратна трем

Истина

Число не кратно трем

Сумма цифр кратна трем

Ложь

Число кратно трем

Сумма цифр не кратна трем

Ложь

Число кратно трем

Сумма цифр кратна трем

Истина

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истина тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

В алгебре логики из логических переменных, логических констант (0 и 1), знаков логических операций и скобок составляются логические выражения.
Приоритет логических операций

При вычислении значения логического выражения логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:



  • инверсия;

  • действия в скобках;

  • конъюнкция;

  • дизъюнкция;

  • импликация;

  • эквиваленция.

Закрепление:

      1. Определить форму сложного высказывания.

1) Если вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ или регулярно сохраняете свои файлы на дискетах, то снижается вероятность потери данных.
А = Вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ;

В = Вы регулярно сохраняете свои файлы на дискетах;

С = Снижается вероятность потери данных.

В) С.



2) Идет дождь, а у меня нет зонта.

А = Идет дождь.

В = У меня есть зонт.

3) Когда живется весело, то и работа спорится.

А = Живется весело.

В = Работа спорится.

А В.

4) Идет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит.

А = Идет налево.

В = Идет направо.

С = Песнь заводит.

D = Сказку говорит.

С) Ú (ВD).



      1. Определите истинность составного высказывания: , состоящего из простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},



D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

 

Сначала на основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.



Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

Составное высказывание ложно.


Домашнее задание:

1. Определить форму сложного высказывания.

1) Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.

2) Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.

3) Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.

4) И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат.
2. По форме высказывания и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.

А = Некто является врачом.

В = Больной поговорил с врачом.

С = Больному стало легче.


3. Даны простые высказывания:

А = {Принтер – устройство ввода информации},

В = {Процессор – устройство обработки информации},

С = {Монитор – устройство хранения информации},



D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

а) В) (C D); б) (АВ)   (C D); в) (АВ)    (CD); г) .


<< предыдущая страница   следующая страница >>