Модуль: Полярная система координат. Уравнение прямой на плоскости (М4) Цель - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Модуль: Полярная система координат. Уравнение прямой на плоскости (М4) Цель - страница №1/1

Модуль: Полярная система координат. Уравнение прямой на плоскости (М4)
Цель: Научиться строить графики функций в полярной системе координат, записывать уравнение прямой на плоскости.


Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ1

Полярная система координат

Выберем на плоскости некоторую фиксированную точку О – начало координатной системы, или полюс. Фиксированный луч с выбранным на нем единичным вектором и с началом в полюсе назовем полярной осью.

Положение любой точки М на плоскости можно определить упорядоченной парой чисел: длиной r радиус-вектора и углом между полярной осью и . Угол считается положительным, если направление вращения от оси к радиус-вектору берется против часовой стрелки. Запись M(r, ) показывает, что длина радиус-вектора || = r, а угол между полярной осью и радиусом равен . Числа r и называются полярными координатами точки М. Длина радиус-вектора r для разных точек плоскости может меняться от 0 до , полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2.

Установим связь между декартовыми и полярными координатами точки М. Поместим начало декартовой системы координат в полюсе полярной системы и направим ось абсцисс по полярной оси.

Тогда

, (в декартовой системе)

и

(координаты в полярной системе)

Для построения линии, заданной уравнением в полярной системе координат, используют метод построения “по точкам”: вычисляют координаты ряда точек и соединяют эти точки плавной кривой.


Пример. 1

Дана точка . Найти полярные координаты точки М.



Решение:

Находим :

Отсюда , но так как точка М лежит в четвертой четверти, то n=1 и . Получаем полярные координаты точки М: ,т.е

Пример.2

Построить линию



Решение:



0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6






0

1,7

2

1,7

0

1,7

2

1,7






π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6





0

1,7

2

1,7

0

1,7

2

1,7

0

Составим таблицу

Построим по точкам график функции  = 2sin(2), в полярной системе координат



Задания:


  1. Найти прямоугольные координаты точки М с полярными координатами .

  2. Найти полярные координаты точки М с прямоугольными координатами .

  3. Построить кривую  = 2sin(3), заданную в полярных координатах.

  4. Построить кривую  = 2(1+sin), заданную в полярных координатах



Записать в тетрадь необходимую информацию.

Примеры запишите в тетрадь.

Решить задания, проверить ответы.





УЭ2

Уравнение прямой на плоскости

  1. Общее уравнение прямой

Частные случаи этого уравнения:

  1. - прямая проходит через начало координат

  2. - прямая параллельна оси Оу

  3. - прямая параллельна оси Ох

  4. - прямая совпадает с Оу

  5. - прямая совпадает с Ох

  1. Каноническое уравнение прямой , где заданная точка на прямой и вектора , параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой

  2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

  3. Уравнение прямой через 2 точки

  4. Нормальное уравнение прямой , где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, - угол, который это перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак перед дробью берется противоположный знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой)

  1. Уравнение прямой в отрезках

где - длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.


Пример. 3

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b= -3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .

Решение:


Находим угловой коэффициент: . Воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом, получаем ; освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой

Пример. 4

Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки .



Решение:

Воспользовавшись уравнением прямой в отрезках, имеем



Это уравнение можно переписать в виде , или (общее уравнение прямой)
Пример. 5

Написать уравнение прямой, проходящей через точки: A(0;2), B(-3;7)

Решение:

Используем уравнение прямой через две точки. Полагая в нем получим или , т.е. или .



Задания:

  1. Дано общее уравнение прямой . Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках; 3) нормальное уравнение.

  2. Через точки А(-3;-1) и В(4;7) на плоскости проходит прямая. Записать уравнение этой прямой через две точки, в каноническом виде, в общем виде, через угловой коэффициент и в отрезках. Сделать чертеж, указать нормальный и направляющий векторы прямой.

  3. Через точку пересечения прямых проведена прямая, параллельная прямой . Составить ее уравнение.

  4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью ОХ угол, равный .

  5. Прямая проходит через точки А(2;3) и В(-4;-1), пересекает ось ОУ в точке С. Найти координаты точки С.



Прочитать, коротко записать материал..

Пример записать в тетрадь

Выполнить задания, проверить.





УЭ3

Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Пусть две пересекающиеся в точке М прямые и задаются соответственно уравнениями с угловым коэффициентом

и

и общими уравнениями , условие перпендикулярности и параллельности прямых представлены в таблице




прямые

условие параллельности прямых

условие перпендикулярности прямых

угол между прямыми
























Расстояние от точки до прямой :



Пример 6.

Найти расстояние между параллельными прямыми и .



Решение:

Возьмем на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, , тогда , т.е. А(0;5). По формуле находим расстояние d от точки А до второй прямой:





Задания:

  1. Определить при каком значении a прямая

а) параллельна оси абсцисс;

б) параллельна оси ординат;

в) проходит через начало координат.

В каждом случае написать уравнение прямой.


  1. Найти угол между прямыми



  1. Исследовать взаимное расположение прямых



  1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2)

а) параллельно прямой

б) перпендикулярно прямой

5. Найти расстояние между параллельными прямыми и

6. Найти координаты точки А, симметричной точке В относительно прямой



Прочитать, коротко записать материал..

Пример записать в тетрадь


Выполнить задания, проверить.