Механика материальных точек - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Механика материальных точек - страница №1/1




МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК


Механическое движение - изменение взаимного расположения тел в пространстве с течением времени.

Поступательное движение тела - движение, при котором все точки тела движутся одинаково.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь.
I. Кинематика

Система отсчета есть тело отсчета, жестко связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.

Радиус-вектор точки - вектор в пространстве, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с рассматриваемой точкой.

[м]

Перемещение точки - мера изменения положения материальной точки. Перемещение - вектор в пространстве, начало которого совпадает с положением точки в начальный момент времени, а конец - с положением точки в конечный момент времени.

[м]

Скорость точки - мера быстроты изменения ее положения. Скорость - векторная физическая величина, равная отношению перемещения точки к интервалу времени, в течение которого точка это перемещение совершила (при неограниченном стремлении интервала времени к нулю).

[м / с] при

Ускорение точки - мера быстроты изменения ее скорости. Ускорение - векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости точки к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло (при неограниченном стремлении интервала времени к нулю).

[м / с2] при

Периодический процесс - процесс, при котором состояния системы повторяются через равные промежутки времени.

Период - мера темпа периодического процесса. Период - минимальный интервал времени, через который повторяются состояния системы.

Т [c]


Частота - мера темпа периодического процесса. Частота - скалярная физическая величина, показывающая, сколько раз в единицу времени система возвращается в то же состояние.

[Гц]

Угловое перемещение - физическая величина, равная углу между радиус-векторами начального и конечного положений точки.

 [рад]



Угловая скорость - физическая величина, равная отношению углового перемещения тела к интервалу времени, за который это перемещение произошло (при неограниченном стремлении интервала времени к нулю).

[рад/с] при
Формула сложения скоростей.

Скорость точки относительно неподвижной системы координат равна геометрической сумме скорости точки относительно подвижной системы координат и скорости подвижной системы координат относительно неподвижной.





Законы движения.

1. равноускоренное движение const:





1.1. при 0 - равномерное прямолинейное движение;

1.2. при параллельно - равноускоренное прямолинейное движение;

1.3. при и, направленных произвольно, - равноускоренное криволинейное движение;


2. равномерное движение по окружности const:

- центростремительное ускорение (направлено к центру окружности).


II. Аксиомы динамики
Взаимодействие - способность тел взаимно изменять состояние движения друг друга.

Сила - векторная физическая величина, дающая количественную характеристику действия одного тела на другое.

[Н]

Инерция - сохранение телами состояния движения при отсутствии внешнего воздействия, а при наличии такового изменение состояния движения лишь постепенно, а не мгновенно.

Масса - скалярная физическая величина, определяющая инерционные и гравитационные свойства тел.

m [кг]



Инерциальная система отсчета - такая система отсчета, в которой материальная точка, не взаимодействующая с другими телами, движется прямолинейно и равномерно.
Законы Ньютона.

I. Инерциальные системы отсчета существуют в природе.


II. В инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки пропорционально силе, действующей на эту точку. Коэффициент пропорциональности не зависит ни от положения и скорости точки в данной системе отсчета, ни от величины, направления и природы силы и является индивидуальной характеристикой материальной точки - массой, не зависящей от времени.


III. При любом взаимодействии двух тел, контактном или на расстоянии, сила, действующая со стороны одного тела на другое, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложенная.


Принцип относительности Галилея.

Никакими механическими опытами нельзя обнаружить движение одной инерциальной системы отсчета относительно другой инерциальной системы отсчета.



III. Силы

Гравитация (тяготение) - действующая между любыми телами сила притяжения, определяемая массами тел.

Вес - сила, с которой тело в однородном поле тяжести действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.

Невесомость - отсутствие деформации тела при его движении под действием только силы тяжести в однородном поле.
Принципы суперпозиции сил.

1. Данную силу можно заменить двумя силами и , если , а точки приложения сил и совпадают с точкой приложения силы .

2. Действующая на данное тело сила , возникающая при совместном воздействии тел 1 и 2, равна сумме сил и , возникающих при воздействии каждого из этих тел порознь.
Закон всемирного тяготения.

Между любыми двумя материальными точками действует сила притяжения, величина которой пропорциональна массам точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Коэффициент пропорциональности не зависит ни от характера движения точек, ни от характера воздействия на точки других тел, и называется гравитационной постоянной.



, где G = 6,67 10-11 Н м2 / кг2 - гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения на высоте H у планеты массой M, радиуса R:

g =



Первая космическая скорость:

Сила реакции - сила, возникающая при контактном взаимодействии тел.

Сила нормального давления - нормальная к поверхности составляющая силы реакции ().

Сила трения - касательная к поверхности составляющая силы реакции (тр.).

Сила упругости - сила, возникающая при изменении формы или объема тела (упр.)
Закон Гука.

Изменение длины тела пропорционально величине приложенной силы.

F = kl , где k - коэффициент жесткости.
Закон сухого трения.

Величина силы трения скольжения пропорциональна величине нормальной составляющей силы реакции. Коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения, не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения. Максимальная величина силы трения покоя равна величине силы трения скольжения.

Fтр. ск. = Fтр. пок. max = N , тр.
IV. Теоремы механики

IV.1. Импульс

Импульс силы - мера действия силы. Импульс силы - векторная физическая величина, равная произведению силы на время ее действия.

[Н с]

Импульс материальной точки - мера ее движения. Импульс материальной точки - векторная физическая величина, равная произведению массы материальной точки на ее скорость в данной системе отсчета.

[кг м / с]

Импульс системы материальных точек - мера движения этой системы. Импульс системы материальных точек - векторная физическая величина, равная сумме импульсов входящих в систему материальных точек.

[ кг м / с]
Теорема о количестве движения системы материальных точек.

В инерциальной системе отсчета изменение импульса системы материальных точек равно импульсу внешних сил, на эти точки действующих. Внутренние силы не изменяют импульс системы.



вн.1t + вн.2 t + вн.3 t + ...
Закон сохранения импульса системы материальных точек.

Если на систему точек в инерциальной системе отсчета внешние силы не действуют или их сумма равна нулю, то импульс системы сохраняется.



вн.1 + вн.2 + вн.3 + ... =0 const

Если внешние силы, действующие на систему точек в инерциальной системе, не равны нулю, но существует такое неизменное направление в пространстве (например, ось координат OX), что проекция суммы внешних сил на это направление обращается в нуль, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.



Fвн.1x + Fвн.2x + Fвн.3x + ... = 0  Px = const
IV.2. Энергия

Работа силы - мера действия силы. Работа силы в данной системе отсчета - скалярная физическая величина, равная скалярному произведению силы, действующей на материальную точку, на ее перемещение.

[Дж]

Энергия - общая мера различных форм движения и взаимодействия.

Кинетическая энергия материальной точки - мера ее движения. Характеризует ее способность к совершению работы вследствие движения. Кинетическая энергия материальной точки - скалярная физическая величина, равная половине произведения массы материальной точки на квадрат ее скорости в данной системе отсчета.

[Дж]

Кинетическая энергия системы материальных точек - сумма кинетических энергий материальных точек, эту систему составляющих.

Ek = Ek1 + Ek2 + Ek3 + ... [Дж]
Потенциальная сила - сила, работа которой не зависит от формы траектории движения тела. (Напр., силы взаимодействия точечных масс, описываемые законом всемирного тяготения; силы упругости, описываемые законом Гука.)

Непотенциальная сила - сила, работа которой зависит от формы траектории движения тела. (Напр., сила трения)

Потенциальная энергия материальной точки - мера взаимодействия точки с другими телами. Характеризует способность точки к совершению работы вследствие ее расположения относительно других, взаимодействующих с ней, тел. Потенциальная энергия точки - скалярная физическая величина, равная работе потенциальной силы, взятой со знаком “минус”, по перемещению точки из положения, в котором энергия считается равной нулю, в то положение, где энергию определяют.

[Дж]

(Ep тяж. = mgh, Ep упр. =)



Потенциальная энергия взаимодействия материальных точек друг с другом - работа потенциальных сил взаимодействия при перемещении точек системы из некоторого начального положения в данное, взятая со знаком “минус”. (Удобно выбирать начальное положение системы так, чтобы силы взаимодействия между точками отсутствовали).

Ep вз. = - A [Дж]

Потенциальная энергия системы материальных точек в заданном внешнем поле - сумма потенциальных энергий всех точек в этом внешнем поле.

Ep вн. = Ep вн.1 + Ep вн.2 + Ep вн.3 + ... [Дж]

Потенциальная энергия системы материальных точек - сумма потенциальной энергии взаимодействия точек между собой и со внешними телами.

Ep = Ep вз. + Ep вн. [Дж]

Полная механическая энергия материальной точки - сумма ее кинетической и потеннциальной энергий.

E=Ek+ Ep [Дж]

Полная механическая энергия системы материальных точек - сумма кинетической и потенциальной энергий системы.

E=Ek+ Ep [Дж]

Центр масс системы материальных точек - точка пространства, координаты которой определяются уравнением


Теорема о кинетической энергии материальной точки.

В инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, на эту точку действующей.




Теорема о полной механической энергии материальной точки.

Изменение полной механической энергии материальной точки в инерциальной системе отсчета равно работе всех непотенциальных сил, действующих на эту точку.

E = Aнепот
Закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

Если в инерциальной системе отсчета работа непотенциальных сил, действующих на материальную точку, равна нулю, то полная энергия точки сохраняется.



Aнепот.=0  Ek + Ep = const
Теорема о кинетической энергии системы материальных точек.

В инерциальной системе отсчета изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил (внешних и внутренних), действующих на материальные точки, эту систему составляющие.

Ek = A
Теорема о полной механической энергии системы материальных точек.

Если на систему материальных точек, движущуюся в инерциальной системе отсчета, действуют как потенциальные, так и непотенциальные силы, то изменение полной энергии системы равно работе всех непотенциальных сил, как внешних, так и внутренних.

E = Aнепот.

Закон сохранения полной механической энергии системы материальных точек.

Если в системе материальных точек, движущихся в инерциальной системе отсчета, работа непотенциальных сил равна нулю, то полная энергия системы точек сохраняется.



Aнепот. = 0  E = const
V. Колебания

Периодический процесс - процесс, при котором состояния системы повторяются через равные промежутки времени.

Колебания - тип движения точки, при котором значения ее координат и скорости повторяются через определенные промежутки времени.

Свободные колебания - колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия после того, как она была выведена из состояния равновесия.

Собственная частота системы - частота свободных колебаний системы.

Вынужденные колебания - колебания, которые совершает система под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором изменение величин происходит по закону синуса (или косинуса).

Резонанс - возрастание амплитуды вынужденных колебаний системы в области, где частота изменения внешней силы близка к собственной частоте системы.

Амплитуда колебаний материальной точки - максимальное отклонение точки, участвующей в колебательном процессе, от положения равновесия.

X [м]

Период - мера темпа периодического процесса. Период - минимальный интервал времени, через который повторяются состояния системы.

Т [c]

Частота - мера темпа периодического процесса. Частота - скалярная физическая величина, показывающая, сколько раз в единицу времени система возвращается в то же состояние.

[Гц]

Фаза - физическая величина, характеризующая состояние периодического процесса в определенный момент времени, и равная количеству периодов, происшедших к данному моменту с начала отсчета времени, умноженному на 2, плюс начальная фаза (фаза процесса в начале отсчета времени).

[рад]

Угловая (круговая) частота - характеристика темпа периодического процесса, мера быстроты изменения фазы. Угловая частота - физическая величина, равная отношению изменения фазы к интервалу времени, за который это изменение произошло.

[рад/с]

Закон изменения величин, характеризующих движение точки при гармонических колебаниях вдоль оси OX.

x = X sin(t +0)

vx = X cos(t +0)

ax = - 2X sin(t +0)

(Математический маятник: , пружинный маятник: )


О колебаниях нормальным языком:

Повторение явления через равные промежутки времени называют периодическим процессом.

Повторение одного и того же движения тела через равные промежутки времени называют колебаниями. Само это повторяющееся движение называют колебанием (одно колебание).

Положение равновесия – место, где тело, если его не трогать, никуда не движется.

Амплитуда колебаний – расстояние от положения равновесия до точки наибольшего отклонения от него.

Смещение: на какое расстояние и в каком направлении сдвинулось тело от положения равновесия к данному моменту времени.

Период колебаний – наименьшее время, через которое повторяется движение тела. Или: время одного колебания.

Частота колебаний – число повторений движения тела за одну секунду. Или: число колебаний в секунду.



VI. ДОПОЛНЕНИЯ
VI.1. Равновесие твердого тела

Абсолютно твердое тело - модель тела, применяемая в случаях, когда изменением формы и размеров тела при его движении можно пренебречь.

Момент силы - физическая величина, равная произведению величины силы на расстояние между осью вращения тела и линией действия силы. Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке положительны, а вращающих против часовой стрелки - отрицательны.

M = F [Н м]
Условия равновесия твердого тела.

1. Сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.



1+ 2 + 3 + ... = 0

2. Сумма моментов всех сил, приложенных к телу, равна нулю.



M1 + M2 + M3 + ... = 0
VI.2. Элементы механики сплошной среды

Сплошная среда - модель тела, физические свойства соседних частей которого близки и могут рассматриваться как изменяющиеся непрерывным образом.

Давление - коэффициент пропорциональности между силой давления на произвольно расположенную в покоящейся жидкости площадку и площадью этой площадки.

p [Па] ()

Плотность - скалярная физическая величина, равная отношению массы тела к его объему. (для однородного тела)

 = [кг / м]


VI.2.1 Статика

Уравнение для определения давления в жидкости на глубине h, если на поверхности давление равно p0: p(h) = p0+gh
Закон Архимеда

Сумма поверхностных сил, действующих на тело, покоящееся в неподвижной жидкости, равна по величине и противоположна по направлению весу жидкости, вытесненной телом, и приложена к центру масс вытесненной жидкости.




VI.2.2 * Динамика

Уравнение Бернулли для течения несжимаемой невязкой жидкости в поле тяжести

v2 + gh + p = const (для любого сечения)

VI.2.3 Волны

Волна - процесс распространения колебаний в упругой среде.

Продольные волны - волны, распространяющиеся в направлении, совпадающем с направлением колебаний среды.

Поперечные волны - волны, распространяющиеся в направлении, перпендикулярном направлению колебаний среды.

Амплитуда колебаний - максимальное отклонение частицы среды, участвующей в волновом процессе, от положения равновесия.

A [м]

Период - мера темпа периодического процесса. Период - минимальный интервал времени, через который повторяются состояния системы.

Т [c]

Частота - мера темпа периодического процесса. Частота - скалярная физическая величина, показывающая, сколько раз в единицу времени система возвращается в то же состояние.

[Гц]

Фаза - физическая величина, характеризующая состояние периодического процесса в определенный момент времени, и равная количеству периодов, происшедших к данному моменту с начала отсчета времени, умноженному на 2, плюс начальная фаза (фаза процесса в начале отсчета времени).

[рад]

Угловая (круговая) частота - характеристика темпа периодического процесса, мера быстроты изменения фазы. Угловая частота - физическая величина, равная отношению изменения фазы к интервалу времени, за который это изменение произошло.

[рад/с]

Скорость распространения волны (фазовая скорость * ) - скорость, с которой перемещается в пространстве фаза этой волны.

v [м/с]


Длина волны - пространственная характеристика волны (период - ее временная характеристика), равная расстоянию между двумя ближайшими точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе.

 = vT [м]



Смещение элемента среды от положения равновесия в момент времени t на расстоянии x от источника(T - период колебаний,  - угловая частота, А - амплитуда, v - скорость распространения волны.)



Звуковые волны - упругие волны в воздухе с частотами от 20 до 20 000 Гц.

Соответствие музыкальных и физических терминов:

-громкость звука – амплитуда колебаний

- высота звука - частота колебаний

- тембр звука - определяется наличием в звуке колебаний с частотами, кратными основной (обертонов).

*VI.3. Момент импульса системы.

Абсолютно твердое тело - тело, деформациями которого при рассматриваемых движениях, можно пренебречь. Твердое тело - система материальных точек, расстояния между которыми неизменны.

Центр инерции твердого тела - точка с координатами:



Кинетическая энергия материальной точки:



Кинетическая энергия вращающегося твердого тела:



Момент импульса материальной точки относительно некоторой оси - векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки, лежащей на оси, к данной материальной точке (точка на оси и материальная точка лежат в плоскости, перпендикулярной оси), на импульс этой точки.

или

Момент импульса системы материальных точек относительно некоторой оси - векторная сумма моментов импульсов всех точек, входящих в систему, относительно этой оси.



Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси - произведение квадрата радиус-вектора, проведенного из точки, лежащей на оси, к данной материальной точке (точка на оси и материальная точка лежат в плоскости, перпендикулярной оси), на массу этой точки.



Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси - сумма моментов инерции составляющих его элементов относительно этой оси.

или

Момент силы относительно некоторой оси - векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки, лежащей на оси, к точке приложения силы (точка на оси и точка приложения силы лежат в плоскости, перпендикулярной оси), на приложенную силу.


Теорема о моменте импульса материальной точки.

Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равна моменту действующих на материальную точку сил относительно этой оси.



или
Теорема о моменте импульса системы материальных точек.

Производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно некоторой неподвижной оси равна моменту действующих на эту систему внешних сил относительно этой оси.



(для твердого тела: )
Теорема Штейнера.

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения квадрата расстояния между этими осями на массу тела.




Закон сохранения момента импульса материальной точки.

Силы не изменяют момента импульса материальной точки относительно какой-либо оси, если сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю.



const
Закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Силы не изменяют момента импульса системы материальных точек относительно какой-либо оси, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.



const (для твердого тела: const)