Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия Первая редакция 15. 12. 2005 г - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Механика для квантовой механики часть о формуле Планка и кванте действия Первая редакция - страница №1/3

МЕХАНИКА ДЛЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Часть 3. О формуле Планка и кванте действия

Первая редакция – 15.12.2005 г.

Юдин С. Ю. ser@t-k.ru

Как и обещал в предыдущих двух частях, чтобы завершить вопрос о двух мерах механической формы движения материи, я сейчас рассмотрю какое отношение к этому может иметь квант действия предложенный Планком, т.к., как было показано в предыдущих частях, ни само действие, ни количество движения никакого отношения к мере механического движения не имеют и являются искусственными величинами, которые правда можно использовать в математических формулах для гимнастики ума. А выплыла эта величина (квант действия), которая по сути сегодня является мерой движения в микромире применяемой в квантовой механике, из так называемой формулы Планка (1), которая как говорят удовлетворительно описывает распределение энергии испускаемой нагретым телом в зависимости от частоты излучения при постоянном притоке к телу того же количества энергии, т.е. для так называемого абсолютно черного тела. Например, на рис.1. даны два распределения энергетической светимости Солнца по спектру излучения (по длине волны излучения) взятые из разных источников и я считаю они оба не совсем удовлетворительно описываются формулой Планка, хотя Солнце по своим характеристикам близко к абсолютно черному телу. А на рис. 2 представлены экспериментальные данные по излучению абсолютно черного тела при разных температурах, которые говорят о совсем неудовлетворительном их описании формулой Планка и по этому мне за неимением других данных трудно сказать насколько все-таки удачно распределение Планка аппроксимирует экспериментальные данные, но как пишут в учебниках, научное значение формулы Планка просто огромно. И вот о научном значении этого распределения мы и поговорим, т.к. нас интересует не то насколько удачно эта формула аппроксимирует экспериментальные данные, а то каков ее физический смысл и конкретно физический смысл постоянной Планка, которая претендует, как квант действия, на роль меры механического движения в микромире.


Рис.1. Зависимость энергетической светимости поверхности Солнца в функции длины волны излучения (экспериментальные данные и теоретические кривые по формуле Планка).



Рис.2. Зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела в функции длины волны излучения (черные линии - экспериментальные данные C.Ленгли, Э.Прингсхейма, О.Люммера, Ф.Курлбаума и др. взятые из работы [1], синие линии – теоретические кривые, которые посчитаны по формуле Планка с помощью программы Plank5 а затем наложены на это рисунок с помощью программы Risunok5).

После того как Кирхгоф в 1859 году установил, что абсолютно черное тело, т.е. тело находящееся в термодинамическом равновесии с окружающей средой, испускает и поглощает тепловое излучение во всем диапазоне частот и это не зависит от природы вещества из которого оно сделано, и возникла проблема получить формулу которая бы описывала распределение энергии (мощности) излучения или как еще говорят спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела по частоте или длине волны излучения. В 1879 году Стефан получил экспериментально, а Больцман в 1884 году теоретически, зависимость отражающую интегральную испускательную способность абсолютно черного тела в функции от его температуры (2). Вин в 1893 году, исходя из феноменологических представлений термодинамики, не только смог найти закон смещения (4’) для определения частоты (длины волны) на которую приходится максимум энергетической светимости тела, т.е. максимальной мощности излучения, но и получил в общем виде формулу для распределения этой энергии излучения в функции от частоты излучения и температуры (3). Однако вид функции f(v/T) он определить не смог. Релей (1900 год) а затем и Джинс для получения такой зависимости использовали теорию электромагнитного излучения и в результате аналитическим путем была получена зависимость (4), которая удовлетворительно описывала распределение энергии излучения, но только в области малых частот.
r(v,T)=(2*pi*v^2/c^2)* h*v / (exp(h*v/(k*T))-1) (1)

u(v,T)=(8*pi*v^3/c^3) / (exp(h*v/(k*T))-1) (1’)

R=sigma*T^4 (2)

r(v,T)=k1*v^3* f(v/T) (3)

r(v,T)=(2*pi*v^2/c^2)* k*T (4)

v=5,88*10^7*T (4’)

где : Rинтегральная излучательная способность тела по всему диапазону частот в ватах на

квадратный метр поверхности излучения Вт/м2

r(v,T) – спектральная плотность энергии излучения в узком интервале частот в ватах на

квадратный метр поверхности излучения и на интервал частот (Вт/м2)/Гц



u(v,T) – объемная спектральная плотность энергии излучения в узком интервале частот в ватах

на кубический метр объема внутри абсолютно черного тела и на интервал частот (Вт/м3)/Гц



k1, sigma – коэффициенты пропорциональности

vчастота излучения в герцах

T – температура тела в градусах Кельвина

c – скорость света

k постоянная Больцмана (теплоемкость одной молекулы газа)

Планк тоже несколько лет с 1894 года по 1900 пытался получить зависимость спектральной плотности излучения от частоты излучения и температуры тела, с использованием законов термодинамики и электродинамики. А после того как он окончательно отчаялся получить такую зависимость аналитически, решил получить хотя бы удачную аппроксимацию экспериментальных данных, предположительно взяв за основу формулы Вина и Релея и проверяя результат законом Стефана-Больцмана. Мы теперь уже никогда не узнаем точно каким образом Планк получил свою формулу статистического распределения и как он потом подводил под нее научную базу, т.к. он никому никогда и ничего не говорил как он это делал и поэтому нам придется немного пофантазировать как это могло быть, опираясь на обрывочные данные об этом. Естественно, Планк не мог обратить внимания, что экспериментально полученные графики распределения энергии излучения по частотам напоминают статистические распределения подобные нормальному, но смещенные, например, подобно распределениям Вейбула или хи-квадрат изображенным на рис.3. Эти распределения, как и многие другие статистические распределения, содержат выражение подобное (5) и изменением параметров этого выражения можно не только смещать максимум функции вероятности влево или вправо при одинаковом ее максимальном значение, но и при этом изменять максимальное значение вероятности.



Рис.3 Функции плотности вероятности Вейбула (слева) и хи-квадрат (справа), которые я построил программой Maple5 с помощью команд пакета статистики



plot([stats[statevalf,pdf,weibull[5.9,7]](x),stats[statevalf,pdf,weibull[4.2,5]](x),stats[statevalf,pdf,weibull[2,2.7]](x)],x=0..10);

plot([stats[statevalf,pdf,chisquare[6]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[8]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[12]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[20]](x),stats[statevalf,pdf,chisquare[5]](x)],x=0..30);

Рис.4 Вероятность выпадения суммы чисел на двух игральных кубиках (слева) и произведение этой вероятности на сумму (справа).



В принципе ничего особенного в таких распределениях нет и любое нормальное распределение принимает вид этих распределений если мы вероятность события умножим или разделим на параметр. Например, вероятность выпадения определенной суммы на гранях двух игральных кубиков имеет нормальное распределение, но если мы построим график вероятности умноженной на сумму, то сразу получим распределение подобное приведенным выше (см. рис.4), а если построим график вероятности деленной на сумму, то получим тоже самое только максимум сместится влево. И т.к. в формуле нормального распределения имеется экспоненциальная зависимость, то, умножив эту вероятность на параметр, мы и получим одно из смещенных распределений, которые все в той или иной мере используют выражение (5). Таким образом, если вероятность количества излучателей определенной частоты для абсолютно черного тела будет иметь даже строго нормальное распределение, то произведение этой вероятности на энергию излучаемую на этой частоте, если она зависит от частоты, будет иметь уже смещенное распределение. А как видно из формулы Вина мощность излучения энергии на определенной частоте очень даже зависит от этой частоты и, следовательно, статистическое распределение спектральной плотности мощности излучения по частоте излучения должно быть подобно приведенным на рис.3 и описываться выражением подобным (5).
r(v,T)=k1*v^k2* exp(-k3*v/T) (5)
где : k1, k2, k3– коэффициенты пропорциональности
Таким образом, Планк вполне мог взять за основу своего распределения это выражение и ему оставалось только попытаться подобрать коэффициенты для этой формулы, а т.к. точность экспериментальных данных, как мы видим на рис.2, была тогда не на высоте, то Планк мог не очень беспокоится о точном совпадении кривых и ему было достаточно только добиться того, чтобы площадь под этими кривыми совпадала со значением энергии (мощности) посчитанной по формуле Стефана-Больцмана (2), которая давала довольно таки точный для того времени результат. Планк, естественно, мог при этом сравнить формулы (3) и (5), и без труда заметить, что коэффициент k2 должен быть равен 3 и ему оставалось в таком случае только подобрать коэффициенты k1 и k3, если последний член в формуле (5) это и есть функция, которую не смог найти Вин. Давайте выполним эту работу за Планка и определим коэффициенты k1 и k3 при различных температурах, а результаты представим в таблице 1. К сожалению стандартные математические пакеты нам тут не помогут, т.к. регрессионный анализ они хорошо делают для линейных и квадратичных зависимостей с одним параметром, а у нас сложная логорифмическистепенная зависимость и с двумя параметрами (частота и температура). А учитывая то что нам придется еще и вычислять подынтегральное выражение, то для определения этих коэффициентов надо писать специальную программу, чтобы не строить на миллиметровке графики распределений и не определять вручную или с помощью планиметра площади под этими кривыми, как это мог делать Планк. Эту программу Plank5, где я, используя методы многофакторного планирования, нахожу оптимальные значения коэффициентов k1 и k3 по полученному уравнению регрессии критерия оптимизации, имеющему вид квадратичной аппроксимации, можно скачать с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru .

Однако, кроме применявшегося мною всегда до этого для этих целей почти D -оптимального плана Бокса, мне пришлось для этой программы написать еще расчет коэффициентов регрессии и по ортогональному и по рототабельному и по униформротатабельному планам, т.к. мне по этому плану очень долго не удавалось получить оптимальные значения коэффициентов k1 и k3 для этой формулы по разнице энергии посчитанной по формуле (2) и посчитанной численными методами как площадь под кривой по 5000 точкам. Но после того как я в качестве критерия оптимизации принял не абсолютное значение этой разницы мощностей, а относительное (в процентах от посчитанной по формуле (2)) при некоторой тренировке процесс наладился, но найти глобальный оптимум ни по одному из планов никак не получалось. Только позже я понял почему, а дело оказалось в том, что таких пар с различными значениями коэффициентов k1 и k3 может быть бесчисленное множество и во всех вариантах площадь под кривой будет идеально сходиться с результатом посчитанным по формуле (2). Полученные мною значения коэффициентов k1 и k3 представлены в таблице 1, где кроме этих коэффициентов даны и значения интегральной мощности излучения посчитанной, как по формуле (2), так и численными методами, как площадь под кривыми (1) или (5), т.е. коэффициенты посчитаны для двух вариантов, как без минус единички в знаменателе формулы (5), так и с минус единичкой. Если кто-то надумает получить другие значения коэффициентов, то могу посоветовать после того как вы зададите произвольные значения коэффициентов k1, k3 и k4 на нулевом уровне, задать коэффициент k2 сразу равным 3, а затем подобрать грубо по углу наклона графика аппроксимации коэффициенты так, чтобы процент ошибки был не очень большим и задать интервал варьирования этих коэффициентов так, чтобы на нулевых уровнях (начиная с 17 эксперимента по 24) значения процента ошибки были примерно одинаковые (кроме k4 - он будет значительно меньше). Я, например, применяя ортогональный план, варьировал эти коэффициенты в следующих интервалах +/-10%k10, +/-0,1%k20, +/-2%k30 и +/-40%k40. После этого по графику влияния каждого коэффициента на процент ошибки увеличиваете или уменьшаете их значения до тех пор пока ошибка не станет минимальной, а графики не примут вид параболы, вершина которой будет расположена на оси ординат.


Таблица 1

Формула для расчета

Мощность излучения кВт/м2 при температуре в градусах по Кельвину

500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

2 где sigma=5,67*10^-8 Дж/К^4

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73483

1 (или 5 с –1) при k1=4,626*10^-50 и k3=4,8*10^-11

3,5409

56,654

906,46

4589,0

14503

35408

73417

1 (или 5 с-1) при k1=3,579*10^-50 и k3=4,5*10^-11

3,5439

56,702

907,24

4592,9

14516

35438

73471

1 (или 5 с-1) при k1=3,0116*10^-50 и k3=4,31*10^-11

3,5437

56,699

907,19

4592,6

14515

35436

73458

5 при k1=5,0144*10^-50 и k3=4,8*10^-11

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73477

5 при k1=3,8735*10^-50 и k3=4,5*10^-11

3,5438

56,700

907,20

4592,7

14515

35437

73468

5 при k1=3,2596*10^-50 и k3=4,31*10^-11

3,5438

56,700

907,21

4592,7

14515

35437

73458

Как видим совпадение интегрального значения энергии подсчитанной по формуле (5) со значением посчитанным по формуле Стефана-Больцмана даже лучше чем у Планка (первая строка коэффициентов), как с минус единичкой в знаменателе так и без. И самое главное из этого статистического распределения можно получить любое значение постоянной Планка h подбором соответствующего значения постоянной Больцмана k и при этом не только мощность излучения совпадет с посчитанной по формуле (2), но и графики будут похожими (см. рис.5, где дан фрагмент программы Plank5). Из данных представленных на рис.2, которыми мог располагать Планк, мы видим, что получить коэффициенты h и k для его формулы да еще и с той точностью, что приводит Планк аппроксимируя сами кривые совершенно не возможно. Следовательно, если Планк получил свою формулу идя именно этим путем, то он также как и мы мог использовать только закон Стефана-Больцмана. И полученная им формула в точности совпадает с формулой (5). Только записана она у него в функции длины волны излучения, а не частоты колебаний и коэффициенты k1 и k3 у него обозначены c1 и c2, а в знаменателе еще записана минус единичка, которая, как видно из таблицы 1 не имеет принципиального значения. Таким образом, остается один вопрос – почему из множества возможных значений h и k Планк выбрал именно те, что используются сейчас, т.е. взял одну из возможных комбинаций коэффициентов k1 и k3 для формулы (5) с минус единицей, а конкретно h =6,63*10^-34 и k =1,38*10^-23, что соответствует коэффициентам k1 =4,628*10^-50 и k3 =4,8*10^-11, но его мы рассмотрим позже.



Рис.5. Графики спектральной плотности излучения при T=5700K посчитанные по формуле (5) по данным табл.1 (зеленые кривые - в знаменателе присутствует минус единица).

Эту формулу (5), только с минус единичкой в знаменателе, Планк предложил в заранее подготовленном дискуссионном замечании на трех страничках, узнав о результатах опыта Рубенса и Курлбаума за несколько дней до заседания, намеченного на 19 октября 1900 года, где Курлбаум сообщил об этих опытах, и замечания Планка были опубликованы в "Сообщениях Немецкого физического общества" [2]. Но как вы сами понимаете просто аппроксимация экспериментальных данных не несет никакой научной ценности, т.к. отражает форму, а не содержание и если мы, например, применим простейшую нейросеть для такой аппроксимации, то также сможем добиться адекватности результатов экспериментальным данным, но логика математической целесообразности нейросети ничего нам не даст для понимания сути явления. А в распределении полученном Планком на первый взгляд как будто бы есть какой-то логический смысл. Правда быстрее всего его не больше чем в распределениях полученных с помощью кубиков на рис.4, но Планк решил во что бы то ни стало найти в его формуле какой то более глубокий смысл и подвести под нее теоретическую базу. Сам он по этому поводу писал: "Но даже если бы эта формула излучения оказалась абсолютно точной, то она имела бы очень ограниченное значение - только как счастливо отгаданная интерполяционная формула. Поэтому я со дня ее нахождения был занят задачей установления ее истинного физического смысла, и этот вопрос привел меня к рассмотрению связи между энтропией и вероятностью, т.е. к больцмановскому образу мыслей".

Т.к. число излучателей для конкретной частоты уже было получено Релеем, то Планку для того, чтобы подвести теоретическую базу под это распределение, оставалось только подобрать какую нибудь формулу для мощности одного излучателя на этой частоте таким образом, чтобы их произведение давало его формулу. Причем, как писал сам Планк в письме Р.Вуду в 1931 году его совершенно не интересовало (как и всех двоечников) каким образом решение будет подогнано под ответ в конце задачника. Вот цитата: "Коротко и сжато я могу все дело назвать актом отчаяния. ... я знал, что эта проблема имеет фундаментальное значение для физики и я знал формулу, которая воспроизводит распределение энергии в нормальном спектре; теоретическое объяснение должно было быть по этому найдено любой ценой, и никакая цена не была бы слишком высока. … Больцман объяснил существование термодинамического равновесия через статистическое равновесие; если эти его соображения применить к равновесию между материей и излучением, то, оказывается, что преобразование в излучение может быть предотвращено, что энергия с самого начала вынуждена пребывать в определенных количествах. Это было чисто формальное предположение, и я первоначально не думал много об этом, памятуя только лишь о том, что при всех обстоятельствах любой ценой должен добиться положительного результата".

Т.е. ни о каких квантах энергии, как о рабочей гипотезе он тогда и не думал, а говоря, что «энергия с самого начала вынуждена пребывать в определенных количествах», он имел в виду равенство всей энергии излучения и энергии в материи и быстрее всего его тогда интересовали только математические преобразования в статистических распределениях с вероятностями событий, которые в свою очередь подразумевают работу с дискретными величинами, хотя во всех своих работах он пытается показать, что его интересовала только энтропия, а уже она в свою очередь связана со статистикой. Более того, как пишет [6] первоначально у Планка коэффициент h определял «элементарные области вероятности», т.к. он по совету Больцмана «попробовать какие нибудь дискретные методы» заменил интегрирование суммированием (было бы странно если бы Больцман посоветовал что нибудь другое кроме своих любимых статистических методов). При этом чудесные превращения этого коэффициента, когда он вдруг заимел себе размерность действия, мягко говоря притянуты за уши, т.к. размерность его не Дж*сек, а Дж/Гц, т.е. Дж/(колебание/сек), которая имеет ясный физический смысл энергии излученной при одном колебании за секунду, а Бор, например, для обоснования квантования орбит электрона увидел вдруг в нем квант момента количества движения, т.к. размерность получается та же Дж*сек = кг*м^2/сек (если конечно забыть о физическом смысле).

Но давайте наконец ознакомимся с самым главным «научным» трудом Планка [3] «К теории распределения энергии распределения нормального спектра» сообщенным научной общественности 14 декабря 1900 года, т.е. в день который считается днем рождения квантовой механики. Это небольшая работа всего на 7 страничках с минимумом формул, но если честно, то я мало что понял из написанного там, т.к. уже в начале пятой страницы была рождена знаменитая формула Планка и дальше пошло восхваление ее и великого Больцмана и еще более великой энтропии. А из предыдущих 4-х страниц восхваление самого себя заняло 1-у страницу, описание распределения энергии по группам резонаторов и связь энергии с энтропией 1,5 страницы и 1,5 страницы очень даже странные рассуждения о числе возможных комбинаций распределения энергии по монохроматическим резонаторам внутри их группы, которое нужно ему, чтобы узнать энтропию всей системы. Затем он пишет, что подсчитать число этих самых комбинаций оказывается не представляется возможным, хотя ему это было бы очень интересно узнать, но вот какой то другой очень простой расчет (наверное засекреченный) и позволяет ему получить его формулу, которую он тут же и приводит (1’). Причем засекреченной оказывается и его знаменитая постоянная h, т.к. в приведенной им формуле она отсутствует (правда в статье вышедшей в следующем году она появилась). Если подставить в эту формулу недостающий коэффициент h и переписать ее из объемной спектральной плотности энергии излучения (проще говоря энергии излучения 1 м^3 газа находящегося внутри абсолютно черного тела) для спектральной плотности энергии излучения с 1 м^2 поверхности этого тела с учетом соотношения r(v,T)=u(v,T)*c/4, то получим формулу (1).

В общем, что я с трудом понял из этой статейки, а может и домыслил сам, то это то, что число резонаторов определенной частоты Планк берет из формулы Релея (2*pi*v^2/c^2) и заменяет в ней энергию одного резонатора k*T на h*v, а затем уже очень путано (я бы сказал даже явно притянув за уши) умножает ее на свое волшебное распределение количества резонаторов конкретной частоты по энергиям. Но последняя операция просто лишняя и поэтому Планк делает хитрый ход и заявляет, что h*v у него оказывается это не энергия излучения одного резонатора (читай молекулы) как у Релея было k*T , а только одна из порций всей энергии резонатора и далее пускается во все тяжкие с комбинациями этих порций, чтобы наконец то получить среднюю энергию одного резонатора конкретной частоты излучения. Причем странно, что в этой работе коэффициент h не только отсутствует в его знаменитой формуле, но и вообще упоминается только три раза и именуется просто постоянной (константой), т.е. ни о каких квантах энергии или действия не идет ни какой речи. Единственное упоминание о том, что энергия (не излучения, а потенциальная и кинетическая в резонаторах) распределена порциями дается на 3-ей странице, когда подсчитывается число возможных комбинаций распределения этих порций равных h*v внутри группы резонаторов одной частоты по каким то мифическим подгруппам. Причем, что очень странно, число комбинаций определяется по формуле, где бессчетное число этих порций качественно отличается друг от друга (не понятно только чем), т.к. для абсолютно одинаковых порций формула количества комбинаций будет другая. Неужели они отличаются бирочками с номерками, которые им прикрепил Планк. Тогда это действительно гениальное изобретение и его друг патентовед должен был немедленно выдать ему патент на это изобретение.

Мне также не понятно каким это образом из закона смещения Вина (4') следует, что величина этих порций должна быть равна h*v. Насколько я понял из его следующей статьи [4] вышедшей в 1901 году это следует из сопоставления формулы для энтропии одного резонатора, которую он получил используя формулу для энтропии предложенную Клаузиусом, формулы, которую он получил после очень произвольные преобразования с формулой Вина (4) и затем обозвал ее простейшей формулировкой закона смещения Вина и формулы для энтропии одного резонатора, которую он получил используя изобретенную им же формулу Больцмана для энтропии системы. В общем получается, что Планк сам и пишет законы которые ему нужны и сам же их потом исполняет, т.е. примерно как наши депутаты Госдумы сами принимают для себя льготы и затем сами же ими пользуются. И вообще создается впечатление, что речь в статье идет не об излучении, а о потенциальной и кинетической энергии молекул газа и самое главное о его энтропии. А слово квант употребляется один раз, когда идет речь об элементарном кванте электричества, т.е. о заряде электрона. И в связи со всем выше сказанным, совсем не странно, что в вышедшем в 1908 году втором издании обширного "Справочника по истории естествознания и техники" Людвига Дармштедтера, где подробно перечислены 120 открытий и находок во всем мире за 1900 год, имя Планка вообще не упоминается. В общем я извиняюсь, но пересказать содержание этой статейки могут только великие фокусники к коим я себя не отношу, а поэтому я лучше сделаю конкретные замечания по некоторым примененным для ее обоснования формулам и методам.

Таким образом, как я и предполагал ранее, Планк при теоретическом обосновании своего распределения пошел по пути чисто статистических распределений, т.е. умножением числа излучателей определенной частоты на вероятностную энергию этих излучателей не вникая в суть самого процесса. Вот только ни то ни другое определены им не верно, но как мы видим из данных табл.1 путем подгонки одного коэффициента при неправильно заданном другом, ответ в этой задачке всегда будет верным и, следовательно, неправильно определив число излучателей можно подгонкой формулы для энергии излучателей получить правильный ответ. Но таких правильных ответов, как видно из данных таблицы 1, очень много даже для одной формулы и надо еще как то найти один единственный и, следовательно, кроме формулы Стефана-Больцмана надо использовать какую то еще. Планк использовал для этого закон смещения Вина и ход определения правильной пары коэффициентов у Планка был такой. Он, взяв интеграл от своей формулы (так же как и мы при нахождении площади под кривой), получил выражение для энергии излучения при температуре 1 градус и прировнял его энергии найденной Курлбаумом экспериментально. Отсюда он нашел, численное значение для выражения k^4/h^3, которое, кстати, выполняется и со всеми значениями с использованием коэффициентов h и k из соответствующих пар коэффициентов k1 и k3 полученных нами и для формулы без минус единицы. Затем, используя формулу смещения Вина, он подставил значение длины волны излучения при максимальной мощности излучения в его формулу и взял от этого выражения производную по длине волны и, т.к. в максимальной точке производная будет равна нулю, из этого уравнения можно найти численное значение для выражения h/k. Теперь решив совместно два этих уравнения можно найти численные значения единственной пары коэффициентов h и k отвечающих обоим условиям. Естественно, аналогичные процедуры можно проделать и с уравнением (5) и получить другие значения коэффициентов h и k и с уравнением, где будет плюс единичка и с каким нибудь еще совсем другим уравнением, например, с распределением Вейбула или хи-квадрат и поэтому самое главное в этой задаче определить правильную структуру этого выражения из множества возможных. А вот с теоретическим обоснованием этой структуры, как я считаю, у Планка большие проблемы.

Начнем с того, что основная идея Релея, которую использовал и Планк, по определению числа излучателей была ошибочна, т.к. определяя количество стоячих волн в полости с зеркальными стенками мы вообще не рассматриваем ни излучение ни поглощение и, следовательно, к излучателям энергии это не имеет никакого отношения, а если и имеет то в лучшем случае к теоретически максимально возможному числу молекул газа в заданном объеме абсолютно черного тела способных излучать эту частоту. Ведь обмен энергией при равновесном тепловом излучении происходит между молекулами стенок сосуда и газа с одной стороны и электромагнитными волнами с другой стороны, которые находятся в вакууме заполняющем пространство между молекулами газа. А Релей и Планк совершенно выбрасывают из расчета молекулы (резонаторы) стенок сосуда, т.к. у них получается, что число этих резонаторов не зависит от формы сосуда, т.е. его площади, а зависит только от объема и в 1 м3 этого объема всегда получается одно и тоже число резонаторов, но это справедливо только для количества молекул любых газов. И на шестой страничке своего научного труда Планк так и пишет, что он определяя энтропию всей системы, рассматривает именно резонаторы находящиеся в газе. Но ведь на поверхности стенок сосуда будет гораздо больше излучателей чем внутри сосуда, т.е. в газе и, следовательно, этот расчет даже в пятом или десятом приближении не верен.

Но если бы даже реальное число резонаторов было равно числу этих молекул газа, то и в этом случае их количество было бы подсчитано не верно, т.к. формула Релея дает максимально возможное число, а не реальное, которое должно быть гораздо меньше и определяться просто числом Лошмидта. И в газе распределение таких резонаторов по их частоте излучения должно не расти по квадратичной зависимости от частоты, а быстрее всего имеет нормальное распределение (Гаусса) или хотя бы распределение Максвелла полученное им для скоростей молекул при разных температурах (6). А так как число молекул (резонаторов) в любом объеме конечное число причем вполне определенное, то в расчетах естественным образом обязательно должна была появиться какая то константа отражающая это и так как все расчеты ведутся для числа резонаторов в маленьком интервале частот, то эта константа должна была быть связана каким то образом с частотой излучения и, следовательно, фантазировать о том, что появление такой константы h в формуле Планка связано с квантованием энергии или действия нет никаких оснований. А подбором коэффициентов мы всегда сможем получить распределение подобное распределению Планка просто перемножив практически любое вероятностное распределение резонаторов по частоте (см. рис. 6), например, даже вероятность распределения молекул по скоростям Максвелла (6) на h*v и на волшебное выражение в конце формулы Планка, которое «зарежет» правую часть любого произведения. Другое дело какой в этом физический смысл. Ведь если отбросить единичку в этом волшебном выражении, что как видно на рис.5 и из данных таблицы 1 не имеет принципиального значения, то мы получим распределение Больцмана (7) для молекул газа по высоте в гравитационном поле в функции от их потенциальной энергии.

Pn=(m0/(2*pi*k*T))^1,5*4*pi*V^2* exp(-Ek/(k*T)) (6)

Pn=A* exp(-Ep/(k*T)) (7)

S = k* ln W (8)
где : Pn – вероятность того, что молекулы газа обладают данными параметрами

m0 – масса молекулы газа

V – скорость молекулы газа

Ek – кинетическая энергия молекулы газа

Ep – потенциальная энергия молекулы газа

A – коэффициент, определяемый из условия, что сумма всех вероятностей равна

единице


S – энтропия системы

W – термодинамическая вероятность состояния системы, равная числу различных

способов (комбинаций параметров), которыми можно задать фиксированное

макросостояние газа

Рис.6. Статистические распределения плотности вероятности различных величин в функции от частоты излучения 1-Больцмана для молекул по формуле (7), когда Ep=h*v, 2- нормальное для числа резонаторов, 3 – Релея для числа резонаторов, 4 - Максвелла для молекул по формуле (8), когда по оси абсцисс отложена скорость молекул и произведения двух распределений умноженного затем на h*v 5 - Больцмана на Релея, (получится распределение Планка без –1 в знаменателе), 6 - Больцмана на нормальное и 7 - Больцмана на Максвелла (масштаб комбинированных распределений принят для сопоставимости результатов таким чтобы на графике максимальная ордината была равна максимальной ординате распределения Планка).

Правда Планк, говоря в своей статье о распределении Больцмана, имеет в виду не формулу (7), а формулу (8), но Больцман такой формулы не выводил (см. далее). Кстати слово «энтропия» у Планка встречается в несколько раз чаще, чем «тепловое излучение» и надо сказать, что в изобретении различных формул для энтропии Планк конечно же преуспел. Он так и пишет в своей работе [2] « … я в конце концов приступил к построению произвольных уравнений для энтропии …. Особенно привлекательно одно из построенных мною выражений…». Мало того, что сама энтропия для грамотного объяснения вопросов термодинамики является просто лишним понятием и по этому ей до сих пор не могут дать внятного определения, что дает возможность Планку изобретать любые формулы с использованием энтропии, так еще и число комбинаций для ее определения в формулировке «Больцмана» он посчитал по формуле, где абсолютно одинаковые порции равные h*v у него чем то отличаются, а вывод ее в виде закона смещения Вина очень произвольный. И все это изобретательство ему нужно только для того, чтобы, используя предложенную им формулировку энтропии (8), связать ее с энтропией в формулировке Клаузиуса, которая позволяла привязать его энергию осциллятора к температуре, а также увязав ее еще с другой его формулировкой энтропии в виде закона смещения Вина найти величину элемента энергии как h*v. Но ведь, если цель ставилась любой ценой подогнать решение под известный ответ, то с математической точки зрения Планк мог получить нужный ему результат и без привлечения к этому энтропии просто применив сразу распределение Больцмана (7) для нахождения вероятности энергии излучения на заданной частоте, что и делается в современных учебниках. Вот только физического смысла такому «теоретическому» выводу эти математические изыски опять таки не прибавляют, т.к. теперь абсолютно не понятно какое отношение распределение молекул по высоте в гравитационном поле в функции от их потенциальной энергии может иметь к энергии излучения h*v, которая подставляется в учебниках в эту формулу вместо потенциальной. И вообще, как я писал выше, здесь более уместно нормальное распределение Гаусса или Максвелла, а не как не Больцмана.

Да и вообще все это можно было проделать и без энтропии, а применив сразу законы статистических распределений с их математическим ожиданием и дисперсией, что было бы гораздо понятнее и честнее. Например, Планк пишет «Если бы амплитуда и фаза были бы абсолютно постоянными, следовательно, колебания совершенно однородными, то никакой энтропии не было бы …» [4], а я бы просто сказал, что в этом случае дисперсия была бы равна нулю. И потом я не понимаю как это одну и ту же физическую величину можно определять по принципиально разным формулам и потом объявлять, что одно равно другому потому, что им дали одно название и совпала размерность. Например, придумав еще одну формулу для кинетической энергии молекулы E=k*T или E=dU*L/dt потом написать m*V^2/2=k*T или m*V^2/2=dU*L/dt. И это мне напоминает историю с принципом наименьшего действия, где это самое действие различными авторами вычисляется по разным формулам. В предыдущей части я показал, что действие это субъективная величина, а в приведенной формулировке Планка это вообще количество «добра». Следовательно, если энтропия это такая же субъективная величина, как и действие, то можно изобретать любые формулы для своих конкретных нужд определяя количество «добра» чисто субъективно. А то, что возрастание энтропии при самопроизвольных процессах, не является всеобщим законом давно доказано, например, в работах Пригожина и само существование жизни на Земле опровергает этот закон. Да и в более простых системах энтропия тоже может уменьшаться, например, это явления бифуркации (ячейки Бенара). Поэтому можно конечно для гимнастики ума изобретать заумные законы с энтропией, а можно, например, выравнивание скоростей молекул или температур газов при их смешивании, т.е. в смысле «стрелы времени», очень просто и без всякой энтропии объяснять обычной теорией удара при наличии диссипации энергии при столкновениях и затем равномерным поглощением этой же энергии теплового излучения теми же молекулами.

Интересна в связи с этим вопросом и мысль высказанная Львовым [5], который считает, что современная термодинамика не учитывающая изменения качества энергии при соблюдении первого начала (закона сохранения энергии), т.е. все таки уменьшения реально доступной для использования энергии при самопроизвольных процессах, просто обязана поэтому вводить такое понятие как энтропия (второе начало), чтобы учесть качественные изменения при превращении энергии, т.е. все таки постоянную ее убыль при самопроизвольных процессах. От этой мысли можно бы было просто отмахнуться, и заявить, что это “качество” очередная мера “добра”, но здесь не все так просто и без отдельного рассмотрения вопроса о том, что такое потенциальная энергия, тут не обойтись. Саму же энтропию Львов считает лишь другим названием обычнейшей средней теплоемкости, а вот энергию как раз еще одной формой выражения вероятности состояния системы. Я конечно понимаю, что несколькими фразами не удастся разделаться с этим монстром по имени «энтропия», но если честно то очень не хочется тратить время на детальный разбор еще одной научной абракадабры да и места это может занять больше чем вся эта статья. По этому оставим пока в покое энтропию и вернемся к кванту действия, где нам осталось сделать только общий вывод о том, что никакой теоретической подоплеки (формула Больцмана для энтропии или его распределение для молекул газа по высоте в гравитационном поле, формула Релея для подсчета числа резонаторов) у статистического распределения Планка нет, так как все эти формулы не соответствуют их применению сделанному Планком и его сторонниками, например, Эйнштейном в 1916 году при выводе этой формулы, когда он идею резонаторов заменил своей идеей квантов энергии (фотонов) с использованием энергетических уровней Бора.

Следует также заметить, что Планк в своих изысканиях до того увлекся подгонкой решения под ответ, что не брезговал никаким даже мелким мошенничеством, чтобы, как он писал,


следующая страница >>