Лекция № Методы решения систем линейных уравнений - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Лекция № Методы решения систем линейных уравнений - страница №1/1


МБИ, Высшая математика, Решение систем линейных уравнений

(адрес сайта-www.dariapiatkina.narod.ru/банковский институт /высшая математика)


Высшая математика

2 семестр

Лекция № 2.

Методы решения систем линейных уравнений.
система линейных уравнений в скалярном виде ( - коэффициенты при переменных и свободные коэффициенты – известные числа, - неизвестные)


или в матричном сокращенном виде:
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда - т.е. число уравнений равно числу неизвестных. В этом случае матрица системы будет квадратной. Её определитель называется определителем системы. В зависимости от значения определителя возможны три случая:
=> система алгебраических уравнений имеет единственное решение (совместная и определённая)
система алгебраических уравнений не имеет решений (несовместная)

система алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений



(совместная и неопределённая)

Методы решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей


  1. Метод обратной матрицы (рассмотрен на прошлой лекции)


- система в матричном виде

формула для поиска решения (в случае )


  1. Метод Крамера

  2. Метод Гаусса

Рассмотрим подробно методы Крамера и Гаусса.

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений

(в случае )
(на примере системы из двух уравнений с двумя неизвестными)

Дано:

- система в скалярном виде .

Требуется решить её методом Крамера
1 шаг - записать систему в матричном виде:


2 шаг: вычислить - определитель системы.

(определитель вычисляется крест на крест)
Если , то на 3 шаг не переходим. В этом случае систему нельзя решить методом Крамера, т.к. она не имеет единственного решения.

Если , то переходим к третьему шагу.
3 шаг – вычислить ещё 2 дополнительные характеристики
- определитель матрицы системы, он получается после замены первого столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B

определитель матрицы системы, он получается после замены второго столбца матрицы A столбцом свободных коэффициентов B
(определители вычисляются крест на крест)
4 шаг – по найденным выше трём характеристикам ищется решение

формулы для поиска решения по методу Крамера
Метод Крамера не подходит для решения систем большой размерности, т.е. носит чисто теоретический характер. Это связано с тем, что вычисление определителей очень длительный процесс и даже современным компьютерам не под силу справиться с этой задачей.

При подсчёте каждого определителя по приведенным выше формулам надо вычислить слагаемых, что нереально уже при умеренных . Например, уже при имеем . Если одно слагаемое вычисляется за секунд, что вполне допустимо для современных машин, то время расчёта составит совершенно фантастическую цифру :



лет.
Пример:



1 шаг:



2 шаг:

=> переходим к 3 шагу

3 шаг:



4 шаг:



(* - как считать определители - см. предыдущую лекцию)
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (рассмотрим на примере системы из трёх уравнений и трёх неизвестных)
В отличие от метода Крамера метод Гаусса подходит для решения систем большой размерности. Приведём сведения для оценки его трудоёмкости.
формула оценки времени расчёта на компьютере системы из n уравнений в минутах при условии, что на одну операцию надо сек.

0,01 мин. – время расчёта для 100 уравнений

11 мин. – время расчёта для 1000 уравнений

7 дней– время расчёта для 10000 уравнений
Вернёмся к изложению самой сути метода Гаусса

- исходная система

Запишем систему в матричном виде:
Матрица системы , к которой справа добавлен столбец свободных коэффициентов , называется расширенной матрицей системы
- расширенная матрица для нашей системы
Рассмотрим специальный вид системы из трёх алгебраических уравнений
эту систему решить просто (- известно, можно найти из второго ур-я через , а из первого через и )

- так выглядит рассмотренная выше система в матричном виде
В этом случае A – верхнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали
Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получаются системы равносильные между собой. Преобразования проводятся над расширенной матрицей системы.

Оказывается, над расширенной матрицей системы можно провести элементарные преобразования, после которых матрица системы будет иметь верхнетреугольный вид с единицами на главной диагонали – при этом решения исходной системы и преобразованной будут совпадать

Элементарные преобразования:

- строку расширенной матрицы можно поделить или умножить на число

- к любой строке расширенной матрицы можно прибавить другую строку расширенной матрицы умноженную на число


(исходная система) (система с верхнетреугольной матрицей)

Проведём с расширенной матрицей нашей системы элементарные преобразования (они не меняют решение системы уравнений):
Прямой ход (приведение матрицы системы к верхнетреугольному виду)

=
=
=


=
(2) - ко второй строке прибавляем первую умноженную на и к третьей строке прибавляем первую умноженную на , первая строка не меняется

(4) - к третьей строке прибавляем вторую умноженную на , первая и вторая строки не меняются
После элементарных преобразований над расширенной матрицей наша система в матричном виде выглядит так:


а в скалярном виде так:


Обратный ход (поиск неизвестных- они ищутся в обратном порядке)

Пример с числами:

Решить систему из трёх алгебраических уравнений методом Гаусса:

исходная система в скалярном виде
Запишем её в матричном виде:

Её расширенная матрица имеет вид:

- к матрице системы A справа добавлен столбец свободных коэффициентов

Прямой ход метода Гаусса (приведение матрицы системы к верхнетреугольному виду)




(2) - <-ко второй строке раширенной матрице прибавляем первую

умноженную на (-1), а третьей прибавляем первую умноженную на (-2)

Цель получить два нуля под 1 Первую строку оставляем без. изм.

















(4)

<- к третьей строке прибавляем вторую умноженную на (4,33)




Цель получить 0 под 1. Первую, вторую строки оставляем без.изменений













В результате прямого хода получили систему с верхнетреугольной матрицей с единицами на главной диагонали

Теперь в матричном виде система выглядит следующим образом:

Т.к. преобразования были эквивалентными, то мы получим решения исходной системы
Обратный ход:

Перейдём к скалярной форме записи:


Или


Из второго уравнения можем найти , а затем из первого



Ответ :
Частные случаи:
Первый частный случай:

если на 4 шаге получается, что третья строка вся состоит из нулей, то в этом случае наша система не имеет единственного решения, т.к.третье уравнение системы выглядит следующим образом:
(т.е в качестве его решения могут выступать произвольные числа )
В этом случае берем:
- произвольное число,

а и будут через него выражаться с помощью первых двух уравнений

системы
- первое уравнение системы
- второе уравнение системы
Откуда:

, где - произвольное число (из второго ур.)
, где - произвольное число (из первого ур.)
Если , то получим базисное решение


Пример с числами:
Дано:




Найти решение этой системы методом Гаусса

Решение:

Наша система в матричном виде выглядит следующим образом

Решать методом обратной матрицы и методом Крамера данную систему нельзя, т.к.

- определитель матрицы системы равен 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(формулу и пример расчета определителя см. в лекции№1)
Для решения нашей системы применим метод Гаусса

- расширенная матрица системы (к матрице системы A добавлен столбец свободных неизвестных B)

Прямой ход - приведение матрицы системы к верхнетреугольному виду с 1 на главной диагонали – все вычисления может провести компьютер (см. файл Excel для

6 задачи – выложен на стр. с вариантами)




Получили частный случай: последняя строка расширенной матрицы состоит из 0 =>решение системы не единственно
Обратный ход метода Гаусса:
Выписываем преобразованную систему по новой расширенной матрице




Получим базисное решение, положив




x3=

0

x2=

0,153846

x1

2,230769



Второй частный случай:
- если на 4 шаге получается, что третья строка состоит из всех нулей, кроме последнего числа, то в этом случае наша система не имеет решений (несовместна), т.к. третье уравнение системы выглядит следующим образом:
- оно не имеет решения