Квадратные уравнения - pismo.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Квадратные уравнения - страница №1/1



Урок толерантности: «Город – единство непохожих»

Тема: «Квадратные уравнения» (8 класс)

Эпиграфы к уроку:

1. «Великая книга природы - написана языком математики»

(Галилео Галилей).

2. «Город – единство непохожих».

(Аристотель).

Цели: - воспитывать чувство толерантности у учеников;

  • прививать любовь к истории; (мировой культуре)

  • развивать логическое мышление.



Ведущий. Представим себе, что с помощью фантастической машины времени и пространства мы очутились в городе, который населяют представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы. Представим, что мы – дети разных времен и народов – едины в одном стремлении: овладеть приемами решения уравнений, в частности квадратных уравнений. Разделим наш город на кварталы и представителю каждого дадим слово.
Итак, слово Древнему Египту.
Представитель Египтян.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющие стороны прямоугольника, если его площадь равна12,а – длины равны ширине».

Рассмотрим эту задачу. Пусть х-длина поля. Тогда 3х-его ширина, S=зх2- площадь.

Получилось квадратное уравнение
В папирусе дано правило для его решения: « Разделим 12 на – «.Имеем: Итак, х2=16.

«длина поля равна 4», указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х2=16 , мы получаем два числа: 4; и –4.

Разумеется, в задаче египтян мы приняли х=4, так как длина поля может быть только положительной величиной.



Ведущий . Слово представителя «вавилонского квартала»

Представитель вавилонян:

Необходимость решать уравнения не только первой степени , но второй степени еще в древности была вызвана потребность решать задачи связанные с нахождением площадей земельных участков ,с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения приведенного квадратного уравнения.


Ведущий. Дошедшие до нас источники свидетельствуют о том , что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно каким образом., вавилоняне дошли до этого. Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями , типа «Смотри», «Делай так» и т. д.
Представитель Греческого квартала:
Я расскажу, как составлял и решал квадратные уравнения греческий математик Диофант. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематический ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Рассмотрим одну из его задач.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Диофант рассуждает следующим образом: Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как ,если бы они были равны ,то их произведение равнялось бы не 96 а 100. Таким образом одно из них будет больше половины их суммы, то есть 10+х, другое же меньше ,то есть 10-х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение (10+х)(10-х)=96

Или 100-х2=96, х2-4=0.

Отсюда х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Ведущий. Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТИАМ» ,составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый 7век Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений вида:

ах2+вх+с=0.
Представитель индийского квартала.
В Древней Индии были распространены публичные решения различных трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Задачи часто облекались в стихотворные формы.

Пример одной задачи знаменитого индийского математика12 века БХАСКАРЫ:

Обезьянок резвых стая


Всласть поевши , развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам …


Стали прыгать, повисая…

Сколько было ж обезьянок,

Ты скажи мне в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.


Ведущий. Огромный вклад в развитие математики внесли ученые Древнего Китая.
Представитель Китайского квартала.
Наиболее древние, дошедшие до нас китайских математических текстов относятся к концу 1в. до н. э. Во 2 в. до н.э. была написана математика в 9 книгах. Позднее в 7 веке она вошла в сборник «десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в 9 книгах», объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

Метод получил название «тянь-юань» (буквально –«небесный» элемент)-так китайцы обозначали неизвестную величину. В последствии метод «тянь-юань» развили и разработали китайские алгебраисты 13-14 веков. (в Европе он стал известен как метод Горнера).


Ведущий. Обратим теперь свои взоры к средневековому Востоку. Арабские завоевания привели к распространению языка и религии арабов-ислама. Начала складываться научная традиция основанная на античном наследии.9-12века –это расцвет науки в арабоязычных странах. Арабский язык стал языком науки
Представитель арабского квартала.
Первым руководством по решению задач , получивший широкую известность, стал труд багдадского ученого 9 века Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми.Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата –(Книга о восстановлении и противопоставлении).-со временем превратилась в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль- Хорезми стало отправной точкой в становлении о науке решения уравнений.

Восстановлением аль-Хорезми называл операцию исключения из обеих частей уравнения отрицательных членов путем добавления равных членов, но противоположных по знаку.

Противопоставлением он понимал сокращение в частях уравнения одинаковых членов.

Немецкий математик так выразил правило «аль-джебр»:

При решении уравнения,

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,


Мы к обеим частям


Равный член придадим,

Только со знаком другим,

И найдем результат положительный.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах , на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них . Равенство не нарушается и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и тоже число.

В алгебраическом трактате аль- Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор называет шесть видов уравнений , выражая их след. образом:

1) квадраты равны корням, то есть

2) квадраты равны числу, то есть

3) корни равны числу ,то есть

4) квадраты и числа равны корням ,то есть

5) квадраты и корни равны числу, то есть

6) корни и числа равны квадратам, то есть

Следует отметить, что при решении неполного квадратного уравнения ,он не учитывает нулевого решения ,вероятно потому, что в конкретных примерах.


При решении полных квадратных уравнений он на частных числовых примерах излагает решения , а затем практические задачи ( оно не имеет решения.) геометрически доказывает.
Задача.

Квадрат и число21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х2+21 =10х).

Решение.

Раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 на само себя и от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4 получишь 2. Отними 2 от5- получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5 , что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат аль - Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Его трактаты были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь . До 16века алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы. Унаследованное от восточных математиков учение о линейных и квадратных уравнениях стало основой развития алгебры в Европе.
Представитель Европейского квартала.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль – Хорезми в Европе были изложены в книге « Абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначи. Этот объёмистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама , так и Древней Греции, отличается и полнотой , и яркостью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из книги «Абака» были включены почти во все европейские учебники 16-17 века и частично 18века.

Общее правило решения квадратных уравнений , приведены к единому каноническому виду.

ах2+вх=с. при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов в и с было сформулировано в Европе лишь 1544г. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Однако он так же признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбели среди первых в 16 веке учитывают и отрицательные корни.

Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона в 17 веке способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Ведущий. Перейдем теперь к практической части урока.

Обратимся к квадратным уравнениям , которые умели решать вавилоняне (ок. 2000 лет до н.э.) Применяя современную алгебраическую запись , можно сказать , что в клинописных текстах встречаются такие квадратные уравнения , как например


х+х2= –

Зададим себе вопрос , являясь современными учениками 8 класс, обладая запасом знаний, накопленными нашими предками, какими способами мы можем решить это уравнение?


Ведущий.

Подведем итог сегодняшнего урока.



  1. Мы сделали ,то ,что в свое время говорил У.Сойер : « Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три- четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами , можно путём сравнений выяснить какой из них эффективнее. Так вырабатывается опыт.

  2. Еще раз убедились в том, насколько велика роль науки, в частности математики, в развитии общества, ведь для науки нет понятий границ, наций и эпох.